» » »

42) Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость.

Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если свойства среды не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения волн) при распространении в такой среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют,а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.
Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин».
style=border-style:.
(5.4.1)
Фазовая скорость этой волны
style=border-style: или style=border-style: .
С помощью такой волны нельзя передавать сигнал, так как в любой точке волны все «горбы» одинаковы. Сигнал должен отличаться, быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет описываться уравнением (5.4.1).
Сигнал (импульс) можно представить (согласно теореме Фурье) в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключенными в некотором интервале style=border-style: . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн (рис. 5.2).
style=border-style:
Рис. 5.2
Выражение для группы волн:
style=border-style:.
(5.4.2)
Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами (рис. 5.3).
style=border-style:
Рис. 5.3
Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).
Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие style=border-style: .
Дисперсия  это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью υ. Очевидно, что в данном случае скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается. Еслидисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можно приписать скорость u (рис. 5.4).
style=border-style:
Рис. 5.4
Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А),называется групповой скоростью u.
В диспергирующей среде style=border-style: . Вместе с движением самого пакета происходит движение «горбов» внутри пакета. «Горбы» перемещаются со скоростью υ, а пакет в целом с u.
Рассмотрим это подробнее на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными длинами волн l.
Уравнения волн (при начальной фазе style=border-style: ) можно записать так:
style=border-style: и style=border-style: ,
здесь style=border-style: ; style=border-style: , т.к. style=border-style: .
Пусть style=border-style: , соответственно style=border-style: .
Сложим колебания, применив преобразования для суммы косинусов:
style=border-style:,
(5.4.3)
style=border-style: style=border-style: , т.к. style=border-style: , то
style=border-style:.
(5.4.4)
Множитель в квадратных скобках изменяется с изменением t и x значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (5.4.4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой
style=border-style: .
Результирующая амплитуда получается в результате сложения, следовательно будутмаксимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием
style=border-style: ,
где m = 0, 1, 2, …, xmax – координата максимума амплитуды.
Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Решив это уравнение относительно xmax, получим:
style=border-style: ; (2mp = const).
Так как style=border-style:  фазовая скорость, то style=border-style:  групповая скорость. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды. В пределе выражение для групповой скорости:
style=border-style:.
(5.4.5)
Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к style=border-style: , следовательно
style=border-style: .
Выразим style=border-style: через длину волны l:
style=border-style: ; style=border-style: ; style=border-style: ,
style=border-style: , тогда получим
style=border-style:.
(5.4.6)
Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависимости от знака style=border-style: ,групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.
В отсутствие дисперсии style=border-style: и style=border-style: . Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.
Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.