» » »

25) Классическая теория электропроводности металлов.

6.4. Классическая теория электропроводности металлов Друде

Современная физика твердого тела базируется на представлениях квантовой механики, а для описания свойств электронного газа используется квантовая статистика, отличная от статистики Максвелла - Больцмана. Вместе с тем теория Друде не потеряла своей полезности: отдельные ее результаты поражают своей точностью, а методы теории Друде на редкость физически наглядны.
      В рамках элементарной кинетической теории полагаем, что валентные электроны (электроны проводимости) металлов представляют собой одинаковые твердые сферы, двигаются они по прямым линиям до столкновения друг с другом, время контакта частиц пренебрежимо мало по сравнению с временем свободного движения.
      Объемную концентрацию электронов проводимости можно оценить выражением:
     
Формула (6.30)
     где  - объемная плотность металла (кг/м3), Z - валентность химического элемента, Na - число Авогадро, А - относительная атомная масса элемента.
      Заряд электрона е =-1,6*10-19 Кл, масса электрона me = 0,91*10-30 кг. Величину е ниже будем считать положительной, а знак заряда электрона будем учитывать непосредственно в формулах.
      Плотность электронного газа:
     
Формула (6.31)
     значительно больше плотности обычных газов при нормальных условиях.
      В теории Друде пренебрегают сильным электрон-электронным и электрон-ионным взаимодействием, полагая, что внутри металлического тела отдельный электрон практически ведет себя как свободная частица. Это дает нам право считать электрон нейтральной частицей при расчете взаимодействия ее с остальными частицами, но способной переносить заряд при расчете параметров электрического тока.
Рис.6.1
Рис. 6.1.
     П.Друде полагал, что электроны в своем движении сталкиваются с атомами (ионами) кристаллической структуры металла (столкновения электрон-электрон значительно менее вероятны). Картина последовательных соударений электрона с атомами кристаллической решетки показана на рис. 6.1.
     Современная теория оценивает вероятность такого механизма не очень высоко: рассеяние электронов имеет и другие механизмы. Поэтому не следует наглядную картину рис.6.1 понимать в буквальном смысле.
      Будем считать, что отношение
     
Формула (6.32)
     представляет собой вероятность соударения электрона с рассеивающим центром, где dt - промежуток времени,  - время релаксации или время свободного пробега. Предполагается, что величина  не зависит от пространственного положения электрона и не меняется от соударения к соударению. Предполагается также, что электроны находятся в состоянии теплового равновесия со своим окружением. Механизм соударения детализируется следующим образом: скорость электрона после соударения статистически не связана со скоростью электрона до соударения (электрон забыл свою предысторию), направление скорости после соударения - случайное, хаотическое, а ее величина соответствует той температуре, которая имеет место в окрестности точки соударения.
     6.4.1. Закон Ома. Закон Джоуля-Ленца.
      Итак, рассмотрим закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме:
     
Формула (6.33)
      - электропроводность,  - удельное электрическое сопротивление среды,  - объемная плотность тока,  - напряженность электрического поля. Вспомним, что величина  - плотность потока электрического заряда
     
Формула (6.34)
     где  - вектор средней скорости направленного движения носителей заряда, в рассматриваемом случае - электронов. В отсутствие напряженности электрического полявеличина  обращается в нуль (хотя хаотическое тепловое движение электронов продолжает иметь место). Для случая  величина  и направлена противоположно полю. Эту скорость можно рассчитать следующим образом. Пусть t - время, прошедшее с момента последнего соударения электрона с рассеивающим центром. Мгновенная скорость  электрона в момент времени t равна:
     
Формула (6.35)
     Из-за хаотичности начальной скорости  ее вклад в среднюю скорость частицы равен нулю, поэтому можно записать:
     
Формула (6.36)
     поскольку среднее время движения электрона между соударениями равно . В этом случае получим:
     
Формула (6.37)
     Заметим, что по Ланжевену из соотношения (6.36) следует выражение для подвижности электронов проводимости в металле:
     
Формула (6.38)
     Если по экспериментальным данным для  оценить величину , она оказывается величиной порядка 10-14 - 10-15 с. Оценить длину свободного пробега можно соотношением
     
Формула (6.39)
     а значение  можно получить из классического закона распределения энергии по степеням свободы
     
Формула (6.40)
     где k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура металла. Из зависимости (6.40) при комнатной температуре получаем , а .
      Значение величины l удивительно совпало с возможными значениями межатомных расстояний... Вроде бы теория Друде правильно описала механизм рассеяния электронов... На самом деле картина рассеяния имеет более сложную природу. И эксперимент не свидетельствует в пользу теории Друде: при достаточно низких температурах на тщательно приготовленных образцах можно получить , т.е. 108 межатомных расстояний.
      Итак, если бы мы знали , то зависимость (6.37) решала бы проблему расчета величины . Более того, результаты теории Друде, не содержащие время релаксации , оказываются количественно верными.
      Теория Друде объясняет физическую природу закона Джоуля-Ленца следующим образом. При каждом соударении с рассеивающим центром электрон передает этому центру энергию
     За единицу времени происходит  таких соударений. А если учесть, что в единице объема содержится n электронов, то получим, в единице объема кристаллической решетки металла за единицу времени выделяется энергия, равная
     Полученное соотношение обосновывает дифференциальную форму закона Джоуля-Ленца.
     6.4.2. Эффект Холла.
     Для наших целей наибольший интерес представляют два случая: расчет электропроводности при наличии пространственно-однородного постоянного магнитного поля (эффект Холла) и при наличии пространственного однородного, но переменного во времени электрического поля.
      Перед началом рассмотрения этих случаев обсудим уравнение второго закона Ньютона для среднего значения импульса электрона
     
Формула (6.41)
     Смысл уравнения (6.41) состоит в следующем. В равновесных условиях величина  равна нулю (это основное условие хаотичности движения электронов), величина  - осредненная внешняя сила, действующая на электрон. Величина  является количественной мерой отклонения системы от состояния равновесия. Каждая устойчивая система стремится к состоянию равновесия со скоростью, пропорциональной (в нулевом приближении) величине этого отклонения. Таким образом, уравнение (6.41) представляет собой типичное уравнение релаксационного процесса.
      Пусть по проводнику вдоль оси х течет ток jx при наличии магнитного поля , т.е. направленного вдоль оси z. Под действием силы Лоренца, действующей на каждую заряженную частицу, возникают компоненты напряженности электрического поля Ey и плотности jy. Уравнение (6.41) для движения электронов в металле принимает вид
     
Формула (6.42)
     Для установившегося режима средний импульс электрона не зависит от времени, поэтому:
     
Формула (6.43)
     
Формула (6.44)
     
Формула (6.45)
     Умножая уравнения (6.43) и (6.44) на выражение  и учитывая определение плотности тока
     
Формула (6.46)
     получаем
     
Формула (6.47)
     
Формула (6.48)
     гле 
     Поле Холла Ey определяется условием jy=0. Из уравнения (6.48) при этом следует:
     Следовательно, для коэффициента Холла
     
Формула (6.49)
     результат (6.49) примечателен тем, что коэффициент Холла не зависит ни от каких параметров металла, кроме объемной плотности носителей заряда. Для многих металлов соотношение (6.49) имеет экспериментальное подтверждение, хотя в отдельных случаях расхождение довольно значительное.
     6.4.3. Высокочастотная электропроводность металлов.
      Если в металле существует переменное электрическое поле , возникновением при этом магнитного поля пренебрегаем, то уравнение движения электрона проводимости в среднем (6.41) приобретает вид
     
Формула (6.50)
     Произвольное поле  можно представить себе как суперпозицию отдельных гармонических колебаний вида , поэтому представляет интерес исследовать решения уравнения (6.50) при условии
     
Формула (6.51)
     Если рассматривать процесс установившихся колебаний
     
Формула (6.52)
     то необходимо выполнить условие
     
Формула (6.53)
     Решением уравнения (6.53) является выражение
     
Формула (6.54)
     Выражение (6.54) позволяет записать дифференциальную форму закона Ома в виде
     
Формула (6.55)
     Из уравнения (6.55) формально следует
     
Формула (6.56)
     где  - комплексная величина, зависящая не только от свойств вещества (параметры), но и от параметра внешнего воздействия.
     Перепишем соотношение (6.56) в эквивалентной форме:
     
Формула (6.57)
     где . В этом случае соотношение (6.55) приобретает вид:
     
Формула (6.58)
     Вспоминая предположение (6.51), замечаем, что ток отстает по фазе от фазы колебаний напряженности поля на угол , а модуль величины  оказывается зависящим от частоты колебаний вектора . Очевидные следствия из соотношения (6.58): при  величина , т.е. к своему статическому значению; при  величина , быстропеременное поле  не успевает разогнать электроны, обладающие свойством инерции.
     6.4.4. Высокочастотная диэлектрическая проницаемость металлов.
     Воспользуемся соотношением (6.54) для среднего импульса электрона в гармоническом поле с напряженностью 
     
Формула (6.59)
     Если вспомнить, что
     

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.


Copyright © IT-IATU 2011-2017