33) Электромагнитная теория Максвелла.

Уравнение Максвелла для электромагнитного поля

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.

       В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (E Q ), так и вихревым (E B ), поэтому напряженность суммарного поля E = E Q + E B . Так как циркуляция вектора E Q равна нулю, а циркуляция вектора E B определяется выражением (2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

E dl = - ¶ B/ ¶ t dS.

Это уравнение показывает, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

1. Обобщенная теорема о циркуляции вектора H:

H dl = (j + ¶ D/ ¶ t) dS.

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

1. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

D dS = Q (6)

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью ρ, то формула (6) запишется в виде:

D dS = ρ dV.

1. Теорема Гаусса для поля B:

B dS = 0.

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

E dl = - ¶ B/ ¶ t dS;                         D dS = ρ dV;

H dl = (j + ¶ D/ ¶ t) dS;                 B dS = 0.

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь:

D = e 0 e E;

                       B = m 0 m H;

                       j = g E;

где e 0 и m 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g - удельная проводимость вещества.

       Из уравнения Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическим полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

       Для стационарных полей ( E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид:

E dl = 0;                 D dS = Q;

H dl = I;                 B dS = 0.

В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

       Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса:

A dl = rot A dS;        

A dS = div A dV,

можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

rot E = - ¶ B/ ¶ t;        div D = ρ ;

rot H = j + ¶ D/ ¶ t;        div B = 0.

       Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако когда имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.