» » »

15) Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса.

 Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S.

      Рассмотрим рис. 2.8.

      Для данной конфигурации поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен:

  (2.3.1)  

      Т.е. в однородном поле   В произвольном электрическом поле

  (2.3.2)  

Рис. 2.8

      Здесь  , т.е. ориентация dS в пространстве задается с помощью единичного вектора  . Таким образом, направление вектора   совпадает с направлением  внешней нормали к поверхности.

      Подсчитаем поток вектора   через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q (рис. 2.9). Окружим заряд q сферой S1.

Рис. 2.9

      Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1.

      В каждой точке поверхности S1 проекция   на направление внешней нормали одинакова и равна:

                                                

Тогда поток через S1

                                   

      Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

                                

      Из непрерывности линии   следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине:

    – теорема Гаусса для одного заряда. (2.3.3)  

      Линии напряженности   начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности).

      Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:

<
    – теорема Гаусса для нескольких зарядов. (2.3.4)  

      Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.

      При вычислении потока через замкнутую поверхность, вектор нормали   следует считать направленным наружу. Линии  , выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создаютположительный поток, линии же, входящие в объем – отрицательный поток.

      Если между нашими сферами расположить ещё одну поверхность S3, не охватывающую заряд, то, как видно из рисунка 2.9, каждая линия напряженности   будет дважды пересекать эту поверхность: один раз с положительной стороны – войдет в поверхность S3, другой раз – с отрицательной стороны – выйдет из поверхности S3. В результате алгебраическая сумма линий напряженности, проходящая через замкнутую поверхность S3 будет равна нулю, т.е. полныйпоток, проходящий черезS3, равен нулю.

      Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен:

         – если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;

         – если заряд расположен вне замкнутой поверхности;

       этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

      В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью   различной в разных местах пространства. Здесь dV –физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такойобъем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электрона   или протона  .

      Суммарный заряд объема dV будет равен:

  (2.3.5)  

      Тогда из теоремы Гаусса (2.3.4) можно получить:

  (2.3.6)  

 это ещё одна форма записи теоремы Остроградского–Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.

      Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле   зависит от конфигурации всех зарядов, поток   сквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то   изменится всюду, и на поверхности S, а поток вектора   через эту поверхность останется прежним.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.