» » »

19. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция). Спектральная плотность дельта-функции.

19.        Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция). Спектральная плотность дельта-функции.  

Условие абсолютной интегрируемости функции  ограничивает класс сигналов, для которых существует формула для спектральной плотности, выраженная обычными функциями. К таким сигналам относятся важные для анализа прохождения сигналов через электронные цепи функции, как гармоническое колебание, заданное при единичный скачок (функция Хевисайда), постоянный сигнал и др. Это позволяет сделать так называемая дельта-функция (функция Дирака)- бесконечно короткий импульс с единичной площадью.

а) Дельта-импульс во временной области.

По определению

wpe8.gif

При =0 дельта-импульс обозначается d (t). Площадь импульса равна 1,т.е.

Одно из важных свойств d - функции – избирательность:

Спектральную плотность d -импульса определим обычным способом:

Таким образом, модуль спектральной плотности d - импульса равен 1[Сигн/Гц] на всех частотах и не зависит от положения на оси времени. ФЧХ спектральной плотности равна () , т.е. линейна (рис. 10).

bdl10.GIF

Рис. 10

Это означает, что бесконечное число гармонических составляющих с одинаковыми амплитудами и фазами, соответствующими ФЧХ, суммируясь, образуют пик очень большой величины в момент времени t, а в остальные моменты времени суммируются не в фазе, в результате чего получается ноль. Обратное преобразование Фурье может быть записано в виде

Понятие d - импульса широко используется при исследовании воздействия коротких импульсов на линейные цепи, при этом достаточно, чтобы амплитуда реального импульса была бы большой, а длительность – малой по сравнению с характерными параметрами цепи,

б) Дельта – функция в частотной области

В соответствии с теоремой взаимности можно записать (заменив t на w ):

Таким образом спектральной плотности d (w ) соответствует постоянный сигнал, действующий при

в) Периодическая последовательность d -импульсов.

В соответствии со свойствами преобразований Фурье огибающая спектра периодического сигнала равна

 .

Так как для одиночного d -импульса    , то огибающая спектра периодической последовательности будет равна 

Сигнал и его спектр при  изображены на рис.11

bdl11.bmp

Рис. 11

При наличии сдвига  относительно начала отсчета t=0 следует добавить ФЧХ, огибающая которой равна ( - w t0 ).

г) Единичный скачок.

Математически эта функция записывается следующим образом:

Запишем соотношение для спектральной плотности:

На рис.12 показаны временная и частотная характеристики единичного скачка при  =0.

bdl12.bmp

Рис.12

д) Спектральная плотность гармонического сигнала бесконечной длительности.

Пусть 

Такой сигнал на частотной плоскости легко отображается спектром с составляющими на частотах .

Найдем формально спектральную плотность такого сигнала  Для этого запишем интеграл Фурье:

Пользуясь соотношением

получаем

Таким образом, спектральная функция гармонического сигнала равна нулю везде, кроме w = , при которых она обращается в бесконечность. Аналогично можно ввести понятие спектральной плотности для любого периодического сигнала, состоящего из суммы гармонических составляющих. Действительно, пусть

тогда

Такое описание сигналов бывает полезным при рассмотрении смеси импульсного и периодического сигналов.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.