» » »

56. Асимптоты графика функции. План исследования функции и построение графика функции.

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции $ называется вертикальная прямая $, если $ или $ при каком-либо из условий: $, $, $. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка $ принадлежала области определения функции $, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: $ или $, где $.     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию $. График $ имеет вертикальную асимптоту $, поскольку при $ выполняется условие $, а также при $ выполняется условие $.     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции $


        Пример 7.2   Рассмотрим функцию $. Её график имеет вертикальную асимптоту $, так как $ при $. То, что при $ функция $ не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая $ являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, $ при $.)     

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции $


        Пример 7.3   Рассмотрим функцию $. Прямая $ является вертикальной асимптотой графика $, так как $ при $. Заметим, что слева от точки $ функция вообще не определена.     

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции $


        Пример 7.4   График функции $ не имеет при $ вертикальной асимптоты, так как $ -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при $ и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция $ -- имеет вертикальную асимптоту $.     

Рис.7.4.График функции $ не имеет вертикальной асимптоты


        Пример 7.5   Прямая $ не является вертикальной асимптотой графика функции $, поскольку здесь нельзя утверждать, что при $ или $функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях $ значения $ могут быть как угодно велики, однако при других малых $ функция обращается в 0: так, при $ ( $) значения функции равны $ и стремятся к бесконечности при $, а при всех $ вида $ ( $) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки $ при увеличении $ попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция $ не является бесконечно большой при $, и прямая $ -- не асимптота.     

Рис.7.5.График функции $ не имеет вертикальной асимптоты


Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции $ при $ называется прямая $, если выполнены два условия: 
1) некоторый луч $ целиком содержится в $; 
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $:


Наклонной асимптотой графика функции $ при $ называется прямая $, если 
1) некоторый луч $ целиком содержится в $; 
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $:

$\displaystyle

    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при $ и при $


В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при $, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая $ является горизонтальной асимптотой графика $ при $ или $, если

$\displaystyle

или

$\displaystyle

соответственно.

        Пример 7.6   Рассмотрим функцию $. График этой функции имеет наклонную асимптоту $ при $. Действительно,

$\displaystyle при $\displaystyle

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида $, так что её график не может иметь асимптоты при $.     

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции $


        Пример 7.7   График функции $ имеет горизонтальную асимптоту $ как при $, так и при $, поскольку, очевидно, $ при $. Можно сказать также, что асимптота при $ у этого графика совпадает с асимптотой при $.     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции $


Аналогично определению наклонной асимптоты можно дать также более общее определение:

        Определение 7.3   Линия $ называется асимптотической линией графика функции $ при $ (или при $), если обе эти функции определены на некотором луче $ (или луче $) и разность ординат графиков стремится к 0 при $ (или при $, соответственно).     

Если функция $ -- линейная, то есть график $ -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

        Пример 7.8   Рассмотрим функцию $. При $ график этой функции имеет асимптотическую линию $, поскольку разность между $ и $, равная, очевидно, $, стремится к 0 при $.     

Рис.7.9.Асимптотическая линия $ графика функции $


        Замечание 7.1   Функции $ и $ входят в определение асимптотической линии симметрично: если график $ -- асимптотическая линия для графика $, то и $ -- асимптотическая линия для $. На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.     

        Пример 7.9   Рассмотрим функцию $. Так как $ при $, то естественно рассматривать график $ как асимптотическую линию при $ для графика исследуемой функции $.     

Рис.7.10.Асимптотическая линия $ для графика функции $ при $


Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением $. Для их нахождения в тех случаях, когда значения $ и $ не очевидны, можно применять следующую теорему.

        Теорема 7.1   Прямая $ служит наклонной асимптотой для графика $ при $ (или при $) в том и только том случае, когда


и


(соответственно, если

$\displaystyle и $\displaystyle

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится $) асимптоты достаточно найти два указанных предела $ и, затем, $. Прямая $будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

        Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае $; доказательство при $ проводится совершенно аналогично.

Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде

$\displaystyle

Так как первый множитель $, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть

$\displaystyle

Но $ и $, так что

$\displaystyle

откуда следует равенство (7.2). Теперь число $ уже известно.

Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что

$\displaystyle

откуда следует равенство (7.3).      

        Пример 7.10   Найдём наклонные асимпт

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.


Copyright © IT-IATU 2011-2017