35. Бесконечно малые (б. м.) и бесконечно большие (б. б.) функции. Арифметические операции над б.м. функциями.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Опр. Бесконечно малой в x0 называется функция f(x) такая, что  

Свойства бесконечно малых функций

1) Критерий существования конечного предела функции

Û$ б.м. функция a(x) при x®x0 :f(x)=A+a(x)

2) a(x),b(x) б.м. Þ a(x)+b(x) б.м.

3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.

4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.

Опр. f(x) определенная в проколотой окрестности x0 называется бесконечно большой б.б. в т. x0, если .

5) Если a(x) б.м. при x®x0 и a(x)¹0, то 1/a(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥ .

4. Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o

f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0

Пишут, если

.

Аналогично определяется O при x®x0+0, x®x0 - 0, x®±¥, x®¥ .

Пример: f(x)=O(1),x®¥ означает локальную ограниченность функции в ¥.

Опр. Если при x®x0 , f(x)=O (g) и g(x)=O (f) , то f(x), g(x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка при x®1.

Определение o. Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0, пишут f(x)=o(g(x)), x®x0, если

$ $ б.м. a(x) при x®x0 , такая, чтоxÎ:f(x)=a(x)g(x)

Аналогично определяется o при x®x0+0, x®x0 - 0, x®±¥, x®¥.

Пример:  f(x)=o (1), при x®x0 означает, что f(x) б.м. при x®x0 .

Некоторые примеры работы с символами o ( подразумевается x®0 ).

o(xn) ± o(xn)= o(xn)

xm o(xn) = o(xn+m)

c o(xn) = o(xn) (c-константа)

o(xn) ± o(xn+p)= o(xn), здесь p натуральное.

  o(xn+p)/xp= o(xn) В частности, o(xp)/xp= o(1).

o(an xn± an+1 xn+1±…± an+p xn+p)= o(xn)

Если a,b б.м. и b=o(a), то говорят, что b б.м. более высокого порядка, чем a.

Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в x0 ( говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы одно из двух условий

f(x)=g(x)+o(g(x)), x®x0

g(x)=f(x)+o(f(x)), x®x0 .

Условие эквивалентности записывается в виде f~g , при x®x0 .

Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.

Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f(x)=h(x)g(x), =1.

Замечание 3. Если, например, g(x)¹0, то первое условие можно записать в виде .

Определение. Если f(x) ~ (x-x0)n при x®x0 , то f(x) называется бесконечно малой порядка n при x®x0.

Если f(x) ~  при x®x0 , то f(x) называется бесконечно большой порядка n при x®x0.

Если f(x) б.б. при x®¥ и f(x) эквивалентна xn при x®¥ , то f(x) называется бесконечно большой порядка n при x®¥.

Замечание. Если f(x) б.м. порядка n, то 1/f(x) будет б.б. порядка n и наоборот.

Примеры. Определить характер функций , в 0, 1,+¥.

При вычислении пределов полезна следующая теорема

Т2. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при x®x0 .

  Если существует предел , тогда существует и .

Если существует предел , тогда существует и .

Опр. Если , то g называется главной частью f при x® x0.