Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Опр. Бесконечно малой в x0 называется функция f(x) такая, что
Свойства бесконечно малых функций
1) Критерий существования конечного предела функции
Û$ б.м. функция a(x) при x®x0 :f(x)=A+a(x)
2) a(x),b(x) б.м. Þ a(x)+b(x) б.м.
3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.
4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.
Опр. f(x) определенная в проколотой окрестности x0 называется бесконечно большой б.б. в т. x0, если .
5) Если a(x) б.м. при x®x0 и a(x)¹0, то 1/a(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥ .
4. Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o
f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0
Пишут, если
.
Аналогично определяется O при x®x0+0, x®x0 - 0, x®±¥, x®¥ .
Пример: f(x)=O(1),x®¥ означает локальную ограниченность функции в ¥.
Опр. Если при x®x0 , f(x)=O (g) и g(x)=O (f) , то f(x), g(x) называются функциями одного порядка.
Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка при x®1.
Определение o. Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0, пишут f(x)=o(g(x)), x®x0, если
$ $ б.м. a(x) при x®x0 , такая, чтоxÎ
:f(x)=a(x)g(x)
Аналогично определяется o при x®x0+0, x®x0 - 0, x®±¥, x®¥.
Пример: f(x)=o (1), при x®x0 означает, что f(x) б.м. при x®x0 .
Некоторые примеры работы с символами o ( подразумевается x®0 ).
o(xn) ± o(xn)= o(xn)
xm o(xn) = o(xn+m)
c o(xn) = o(xn) (c-константа)
o(xn) ± o(xn+p)= o(xn), здесь p натуральное.
o(xn+p)/xp= o(xn) В частности, o(xp)/xp= o(1).
o(an xn± an+1 xn+1±…± an+p xn+p)= o(xn)
Если a,b б.м. и b=o(a), то говорят, что b б.м. более высокого порядка, чем a.
Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в x0 ( говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы одно из двух условий
f(x)=g(x)+o(g(x)), x®x0
g(x)=f(x)+o(f(x)), x®x0 .
Условие эквивалентности записывается в виде f~g , при x®x0 .
Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.
Замечание
2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них:
в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство
f(x)=h(x)g(x), =1.
Замечание 3. Если, например, g(x)¹0, то первое условие можно записать в виде .
Определение. Если f(x) ~ (x-x0)n при x®x0 , то f(x) называется бесконечно малой порядка n при x®x0.
Если f(x) ~ при x®x0 , то f(x) называется бесконечно большой порядка n при x®x0.
Если f(x) б.б. при x®¥ и f(x) эквивалентна xn при x®¥ , то f(x) называется бесконечно большой порядка n при x®¥.
Замечание. Если f(x) б.м. порядка n, то 1/f(x) будет б.б. порядка n и наоборот.
Примеры. Определить характер функций ,
в 0, 1,+¥.
При вычислении пределов полезна следующая теорема
Т2. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при x®x0 .
Если существует предел , тогда существует и
.
Если существует предел , тогда существует и
.
Опр. Если , то g называется главной частью f при x® x0.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.