Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом точке
можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.
Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая -- осью абсцисс, вторая -- осью ординат, третья -- осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.
Первая координата называется абсциссой, вторая -- ординатой, третья -- аппликатой.
Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты -- абсциссу и ординату.
Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку, например ,
.
В дальнейшем мы будем использовать лишь декартову прямоугольную систему координат и для краткости будем называть ее просто система координат.
Единичные попарно ортогональные векторы базиса принято, как правило, обозначать i, j, k.
На рис. 10.15 показаны два способа изображения точки по ее координатам.
Так как точку пространства мы вынуждены изображать на плоскости, то, пока не указаны линии, связывающие изображение точки с осями координат, установить ее положение в пространстве невозможно! Это показывает рис. 10.16.
Зная координаты начала и координаты конца вектора, можно определить координаты самого вектора.
Доказательство. Очевидно соотношение (рис. 10.17),
откуда . Так как, по определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то
,
. В силу предложений 10.4, 10.5 получим
.
Предложение 10.12 можно сформулировать так: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.
п.2. Разложение вектора по базису. Определение. Пусть то говорят, что вектор Теорема. (О разложении вектора по базису.) Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом. Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Так как 2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа
рис.3. Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора 3) Пусть Отложим все три базисных вектора
рис.4. По правилу сложения векторов получаем равенство: По построению и возможность разложения по базису доказана. Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Заметим, что по условию векторы Возможны два случая: а) Пусть Из равенства (4) следует, что вектор б) Остается случай Так как Теорема доказана.
5. Углы, образуемые вектором Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии. – произвольный вектор,
– произвольная система векторов. Если выполняется равенство
,
(1)
представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов
является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора
по базису
. Коэффициенты линейной комбинации
называются в этом случае координатами вектора
относительно базиса
.
–базис
. Возьмем произвольный вектор
. Так как оба вектора
и
коллинеарные одной и той же прямой L, то
. Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как
, то найдется (существует) такое число
, что
и тем самым мы получили разложение вектора
по базису
векторного пространства
.
по базису
векторного пространства
:
и
, где
. Тогда
и используя закон дистрибутивности, получаем:
.
, то из последнего равенства следует, что
, ч.т.д.
– базис
. Пусть
произвольный
вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной
точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведемпрямую
, на которой лежит вектор
, прямую
, на которой лежит вектор
. Через конец вектора
проведем прямую параллельную вектору
и прямую параллельную вектору
. Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма
, и
,
,
– базис
,
– базис
.
, что
и
. Отсюда получаем:
и возможность разложения по базису доказана.
по базису
векторного пространства
:
и
. Получаем равенство
, откуда следует
. Если
, то
, а т.к.
, то
и коэффициенты разложения равны:
,
. Пусть теперь
. Тогда
, где
. По теореме о коллинеарностидвух векторов отсюда следует, что
. Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,
и
, ч.т.д.
– базис
и пусть
произвольный вектор. Проведем следующие построения.
и вектор
от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы
, плоскость
и плоскость
; далее через конец вектора
проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:
.
(1)
. Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число
, такое что
. Аналогично,
и
, где
. Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:
(2)
по базису
:
и
. Тогда
. (3)
некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.
или
.
, тогда из равенства (3) следует:
.
(4)
раскладывается по базису
, т.е. вектор
лежит в плоскости векторов
и, следовательно, векторы
компланарные, что противоречит условию.
, т.е.
. Тогда из равенства (3) получаем
или
.
(5)
– базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что
и
, ч.т.д.
с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул (3) и (4):