» » »

45. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Геометрический смысл дифференциала $ мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная $ -- это угловой коэффициент $ касательной к графику функции при $, то дифференциал $ -- это приращение ординаты $ точки касательной

$\displaystyle

к графику функции $, когда абсцисса точки касательной получает приращение $:

$\displaystyle

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной


        Замечание 4.6   Заметим, что для функции $ производная равна 1, так что дифференциал $ равен $, то есть $. Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной $ писать её дифференциал $. При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции $

$\displaystyle

    

        Замечание 4.7   Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент $, от которого $ зависит линейно, и пишут короче:

$\displaystyle

Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов $ и $, линейная по $.     

        Замечание 4.8   Поскольку для функции $ дифференциал записывается как $, то, деля на $, получаем

$\displaystyle

что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби $ смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.     

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.