» » »

51. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

 Формула Тейлора 

(Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора).


     Остаточный член формулы Тейлора 

     В форме Лагранжа:

     В форме Пеано:

 при 

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

I.  т.к. , для , то формула Маклорена имеет вид . (8) На любом отрезке , где  в силу того, что: , т.е. , получаем следующую оценку следующего члена  (9)

Полагая здесь x=r=1 имеем оценку погрешности приближенного вычисления числа e  (9) II.  т.к. ,  то формула Маклорена имеет вид ; (10). Здесь n – нечетное число x  в радианах.

Очевидно, что на любом отрезке  справедлива следующая оценка остаточного члена:  (11) III.  Т.к. ; , то формула Макло-рена имеет вид: ; (12). Здесь n – четное число на любом отрезке  имеет очевидно для остаточного члена оценку (11). IV.  Т.к.  , то формула Маклорена имеет вид:  (13) где остаточный член имеет вид:  в форме Лагранжа. (14) для значений  имеем оценку, переходя в (14) к модулям: ; (15) Для значений  можно доказать, что имеет место оценка:  (16).

V. , где  Т.к  , то формула Маклорена имеет вид:  ; (17) В частности когда  (натуральное число), то получаем формулу бинома Ньютона: .


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины