» » »

8. Фундаментальная система решений (ф.с.р.) и теоремы о числе решений в ф.с.р.. Построение ф.с.р.

Система однородных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю:

\left\{

или, в матричном виде:

A_{m\times
!

Однородная система всегда совместна: она имеет тривиальное решение: x_1=0,\dots,x_n=0.

Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрица A системы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капеллиутверждает, что условие \det является и достаточным для существования нетривиального решения.

Т

Теорема. Для того, чтобы система однородных уравнений с квадратной матрицей A имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы \det.

Для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы A имеет место следующий общий результат.

Т

Теорема. Если \operatorname{rank} то у системы однородных уравнений имеется набор (система) из n- решений

X=X_1,\dots,

при линейно независимых столбцах \{X_1,\dots,X_{n-\mathfrak. Любое другое решение X= системы линейно выражается через указанные столбцы:

X_{*}=\alpha_1X_1+\dots+

Этот набор решений называется фундаментальной системой решений (ф.с.р.) для системы однородных уравнений.

=>

Если m<n, то система однородных уравнений имеет нетривиальное решение.

Определение вместе с предшествующей ему теоремой можно переписать в терминах теории линейных пространств5)

Т

Теорема. Множество решений системы однородных уравнений образует линейное подпространство пространства \mathbb. Размерностьэтого подпространства равна n-\mathfrak, а фундаментальная система решений образует его базис.

?

Пусть матрица системы AX=0 квадратная и \operatorname{rank}. Доказать, что если ненулевой минор матрицы порядка n-1соответствует какому-нибудь элементу j-й строки, то система алгебраических дополнений к элементам a_{j1},\dots,a_{jn} этой строки составляет ф.с.р. для AX=0. Например, для системы

\left\{

ф.с.р. состоит из решения

x_1=\left|

если только хотя бы один из миноров отличен от нуля.

Теперь обсудим способы нахождения ф.с.р.

1. Первый из них получается из общего метода решения системы линейных уравнений, рассмотренного в предыдущем пункте. Так же, как и в том пункте, сделаем упрощающее обозначения предположение, что зависимыми переменными являются первые x_1,\dots,x_{\mathfrak, т.е. общее решение задается формулами

x_j=\gamma_{j,\mathfrak{r}+1}x_{\mathfrak{r}+1}+\dots+\gamma_{jn}x_n

Иными словами, вектор столбец

X=\left(\begin{array}{c}

будет решением однородной системы при любых наборах значений основных переменных x_{\mathfrak{r}+1},\dots,x_n. Представим этот вектор в виде суммы векторов:

=x_{\mathfrak{r}+1}

Таким образом, любое решение однородной системы представимо в виде линейной комбинации n- фиксированных решений. Именно эти решения и можно взять в качестве ф.с.р. — их линейная независимость очевидна (единицы в нижних частях каждого вектора X_j расположены на разных местах, и ни какая линейная комбинация столбцов \{ не сможет обратить их одновременно в нуль).

§

Для одной и той же системы уравнений, фундаментальная система решений может быть построена разными способами и иметь разный вид. Как только мы смогли упростить систему линейных уравнений таким образом, чтобы выделить в ней основные и зависимые переменные, остается только зафиксировать несколько наборов значений для основных переменных.

\begin{array}{lll} так, чтобы \det

Проще всего взять в качестве {\mathbf единичную матрицу E_{n-{\mathfrak, что и было сделано выше.

П

Пример. Найти ф.с.р. для системы уравнений

\left\{

Решение. Приводим систему к трапециевидному виду:

\left\{

В качестве зависимых переменных можно взять, например, x_1 и x_3.

\begin{array}{cc|cc}

Ответ.6) \{.

2. Этот способ напоминает вычисление обратной матрицы методом приписывания единичной матрицы. Транспонируем матрицу A системы и припишем к ней справа единичную матрицу порядка n:

A^{\top}

здесь | означает конкатенацию. Получившуюся матрицу элементарными преобразованиями над строками приводим к трапециевидному виду:

\left(\begin{array}{cccccc|ccccc}

элементы, обозначенные \star все отличны от нуля. В этом случае строки матрицы, образовавшейся в правом нижнем углу (элементы обозначены \Box), составляют ф.с.р. для системы AX=\mathbb.

П

Пример. Найти ф.с.р. для системы уравнений

\left\{

Решение. Преобразуем матрицу A^{\top}

\left(\begin{array}{rrrrr|rrrrrr}

к трапециевидому виду с помощью элементарных преобразований над строками:

\rightarrow
\rightarrow

Ответ.7) \{.

3. Еще один способ построения ф.с.р. основан на теореме Гамильтона-Кэли.

Т

Теорема. Пусть матрица системы AX=0 квадратная и \operatorname{rank}. Тогда характеристический полином матрицы A имеет вид:

\det(A-\lambda

и ненулевые столбцы матрицы

A^{{\mathfrak

составляют ф.с.р. для AX=0.

П

Пример. Найти ф.с.р. для системы уравнений

\left\{

Решение. Здесь

A=
A^2-4A+E=

Ответ.8) \{.

?

Найти ф.с.р. для системы уравнений

\left\{

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.