» » »

16. Геометрическое представление о векторе. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Проекция вектора на оси координат.

Линейные операции над векторами

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

            Суммой векторов является вектор -

            Произведение - , при этом  коллинеарен .

Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­), если a > 0.

Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Проекции вектора

Здесь и в дальнейшем под словами проекция точки или проекция вектора всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Пусть в пространстве задана некоторая ось $ , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка $ и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

        Определение 10.21   Проекцией точки $ на ось $ называется число, соответствующее основанию перпендикуляра $ , опущенного на ось $ из точки $ .         

        Определение 10.22   Проекцией вектора $ на ось $ называется разность проекций конца вектора и его начала.         

Проекцию будем обозначать $ . На рис. 10.18 $ .




Рис.10.18.Проекция вектора на ось


Легко проверить, что если $ , то $ , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

        Предложение 10.13   Пусть $  -- угол, образованный вектором a с осью $ . Тогда $ .

        Доказательство.     Пусть угол $  -- острый. Тогда в соответствии с рис. 10.19 получим $ .




Рис.10.19.


Если угол $ тупой, то в соответствии с рис.10.20 находим $ ,




Рис.10.20.


откуда $ .     

        Предложение 10.14   Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

        

Если проекции слагаемых одного знака, то доказательство очевидно из рис. 10.21.




Рис.10.21.Проекция суммы


Случай проекций разных знаков читатель может проанализировать самостоятельно или прочесть в одном из учебников из списка литературы.

        Предложение 10.15   Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число.

        

Доказательство очевидно из подобия треугольников на рис. 10.22.




Рис.10.22.Проекция произведения вектора на число


        Определение 10.23   Проекцией вектора b на вектор a, $ , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.         

Проекция вектора b на вектор a обозначается $ .

Очевидно, что $ , где $  -- угол между векторами a и b.

        Предложение 10.16   Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора.

        

        Определение 10.24   Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.         




Рис.10.23.Направляющие косинусы вектора


В соответствии с рис. 10.23, направляющими косинусами вектора a являются $ , $ , $ .

        Предложение 10.17   Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора. Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины