» » »

43.Сложная и обратная функция и их производные. Производная степенно-показательной функции.

Производная сложной функции.

Пусть src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image773.gif функция, дифференцируемая в точке src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1091.gif src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1092.gifфункция, дифференцируемая в точке src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image665.gifпричемsrc=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1093.gifТогда  src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1094.gif- сложная функция независимого переменного t , дифференцируема в точке t0    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1096.gif
Обычно src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1097.gif  называют внешней функцией, а x - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Производная обратной функции.

Пусть функция src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1099.gifдифференцируема и строго монотонна наsrc=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1100.gifПусть также в точке src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1101.gifпроизводная src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1102.gifТогда в точкеsrc=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1103.gifопределена дифференцируемая функция src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1104.gif которую называют обратной к src=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image693.gifа ее производная вычисляется по формулеsrc=http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme9/IMAGES/Image1105.gif/
Производная степенно-показательной функции.
  Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

 

lny = vlnu
src=http://dvoika.net/matem/dif2/ris/image042.gif
src=http://dvoika.net/matem/dif2/ris/image043.gif
src=http://dvoika.net/matem/dif2/ris/image045.gif









 
 

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.