15. Квадратичная форма и ее матрица. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра.

     Квадратичная форма переменных  - функция

 - коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают  тогда

     Если переменные  принимают действительные значения и  квадратичная форма называется действительной.

     Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если 

     Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

     В пространстве  квадратичную форму можно записать в виде  где X - координатный столбец вектора 

     В пространстве  квадаратичную форму можно представить в виде  где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

 Канонический вид квадратичной формы 

     Квадратичная форма называется канонической, если все  т. е.

     Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

     1. Ортогональное преобразование пространства :

где  - собственные значения матрицы A.

     2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если 

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой  и т. д. Если в квадратичной форме все  но есть  то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например,  то полагаем   

     3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры  квадратичной формы отличны от нуля):

   Нормальный вид квадратичной формы 

     Для действительной квадратичной формы

где  r = rank A.

     Для комплексной квадратичной формы

    r = rank A.

     Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.

     Квадратичные формы, для которых  таких, что  Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны  (критерий Сильвестра).

     Квадратичные формы, для которых  таких, что  Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда 

     Квадратичные формы, для которых  таких, что  Нормальный вид r < n, r = rank A.

     Квадратичные формы, для которых  таких, что  Нормальный вид r < n, r = rank A.

     Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид:  r = rank A.