Квадратичная форма переменных - функция
- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают
тогда
Если переменные принимают действительные значения и
квадратичная форма называется действительной.
Матрица
называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если
Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.
В пространстве квадратичную форму можно записать в виде
где X - координатный столбец вектора
В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде
где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.
Канонический вид квадратичной формы Квадратичная форма называется канонической, если все Всякую
квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью
линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы. 1. Ортогональное преобразование пространства где 2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой 3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры Нормальный вид квадратичной формы Для действительной квадратичной формы где Для комплексной квадратичной формы Для
действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных
форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном
виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной
формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных
преобразований. Квадратичные формы, для которых Квадратичные формы, для которых Квадратичные формы, для которых Квадратичные формы, для которых Квадратичные
формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные
значения. Нормальный вид:
т. е.
:
- собственные значения матрицы A.
и т. д. Если в квадратичной форме все
но есть
то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например,
то полагаем
квадратичной формы отличны от нуля):
r = rank A.
r = rank A.
Классификация действительных квадратичных форм
Положительно-определенные
таких, что
Нормальный вид
Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны
(критерий Сильвестра).
Отрицательно-определенные
таких, что
Нормальный вид
Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда
Положительно-полуопределенные
таких, что
Нормальный вид
r < n, r = rank A.
Отрицательно-полуопределенные
таких, что
Нормальный вид
r < n, r = rank A.
Неопределенные
r = rank A.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.