» » »

55. Направления выпуклости графика функции. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

Теорема 7.13   Пусть функция $ имеет на интервале $ производную $. Функция $ выпукла на $ тогда и только тогда, когда график $ лежит (при $) не ниже любой касательной $, проведённой при любом $, то есть выполняется неравенство
$\displaystyle
при всех $.

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной 

        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:
$\displaystyle
где $ лежит между $ и $. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $ при $ и $ при $. В любом случае получаем, что произведение $ неотрицательно, откуда $. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.      
        Замечание 7.13   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:
дифференцируемая функция вогнута на интервале $ тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:
$\displaystyle
при всех $.     

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной 

        Определение 7.6   Точкой перегиба функции $ называется такая точка $, которая разделяет два интервала $ и $, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.     

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости 

В случае, если вторая производная $ непрерывна, в точке перегиба $ непременно должно выполняться равенство $, поскольку, согласно теореме 7.11, $ должна менять знак при переходе через точку $. Верно даже несколько более сильное утверждение:
        Теорема 7.14   Пусть $ -- точка перегиба функции $, причём существует $. Тогда $.
        Доказательство.     Из существования $ следует, что $ существует при $ из некоторого интервала $, окружающего точку $. По предположению, при достаточно малом $, на интервалах $ и $ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости $ выпукла на $ и вогнута на $. Тогда функция $ не убывает на $ и не возрастает на $, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $ при $ и $ при $. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $ и $ соответственно и замечая, что оба предела равны $, получаем, что одновременно $ и $. Значит, $, что и требовалось доказать.      
Заметим однако, что не любая точка $, такая что $, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция $может и не сменить знак, тогда перегиба в точке $ нет.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.