Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной
Доказательство. Применяя формулу конечных приращений, получаем:
где
лежит между
и

. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что
при
и
при

. В любом случае получаем, что произведение
неотрицательно, откуда

. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.
Замечание 7.13 Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:
дифференцируемая функция вогнута на интервале
тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:
при всех
.
Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной
Определение 7.6 Точкой перегиба функции
называется такая точка

, которая разделяет два интервала
и

, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.
Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости
В случае, если вторая производная
непрерывна, в точке перегиба
непременно должно выполняться равенство

, поскольку, согласно теореме 7.11,
должна менять знак при переходе через точку

. Верно даже несколько более сильное утверждение:
Теорема 7.14 Пусть
-- точка перегиба функции
, причём существует
. Тогда
.
Доказательство. Из существования
следует, что
существует при
из некоторого интервала

, окружающего точку

. По предположению, при достаточно малом

, на интервалах
и
направление выпуклости функции разное; пусть для определённости
выпукла на
и вогнута на

. Тогда функция
не убывает на
и не возрастает на

, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит,
при
и
при

. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе
и
соответственно и замечая, что оба предела равны

, получаем, что одновременно
и

. Значит,

, что и требовалось доказать.
Заметим однако, что не любая точка

, такая что

, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция

может и не сменить знак, тогда перегиба в точке
нет.