» » »

39. Непрерывность функции в точке (три определения). Свойства функций непрерывных в точке.

Непрерывность функций

Определение непрерывности функции

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ;     (1)

2) для произвольной последовательности (xn) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x0);

3)  или f(x) - f(x0) → 0 при x - x0 → 0;

4)  такое, что

или, что то же самое,

f: ]x0 - δ, x0 + δ[ → ]f(x0) - ε, f(x0) + ε[.

Из определения непрерывности функции f в точке x0 следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Функция f: ]a, x0] → R (f: [x0, b[ → R) называется непрерывной в точке x0 слева (справа), если выполняется одно из эквивалентных условий:

1)  такое, что неравенство (1) выполняется, как только x0 - δ < x  x0 (x0  x < x0 + δ);

2) для произвольной последовательности (xn) значений , сходящейся к точке x0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к f(x0);

3)  или, короче, если f(x0 - 0) = f(x0) (f(x0 + 0) = f(x0));

4)  такое, что

Функция f: X  R непрерывна во внутренней точке  тогда и только тогда, когда она в этой точке непрерывна слева и справа.

Теорема 1. Если функция , непрерывна в точке , а функция f: X  R непрерывна в точке , где x0 = g(t0), то композиция    f  g: T  R непрерывна в точке t0.

Теорема 2. Пусть функции f: X  R и g: X  R, , непрерывны в точке . Тогда функции

f + g,   fg   и   f/g (g(x0) ≠ 0),

непрерывны в точке x0.

Все элементарные функции непрерывны в области существования.

Непрерывность вектор-функций и функциональных матриц

Вектор-функция , f(x) = (f1(x), ..., fn(x)), x ϵ X, называется непрерывной в точке x0 ϵ X, если

Функциональная матрица , где A(x) = (aij(x)), , называется непрерывной в точке x0 ϵ X, если

Вектор-функция f непрерывна в точке x0 ϵ X тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна каждая из функций .

Функциональная матрица  непрерывна в точке x0 ϵ X тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все элементы матрицы .


Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции

Если функция f: X  R не является непрерывной в точке x0 ϵ X, то говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точка x0называется точкой разрыва функции f.

Точки разрыва функции f классифицируем следующим образом:

1. Пусть x0 ϵ X - точка разрыва функции f и существует , конечный или бесконечный. При этом:

а) если  конечный, то x0 называем точкой устранимого разрыва функции f;

б) если , то x0 называем точкой разрыва типа полюс.

2. Если  не существует, то точку x0 ϵ X называем точкой существенного разрыва функции f. При этом

а) если существуют конечные пределы

f(x0 - 0),   f(x0 + 0)   (f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0)),

то точку x0 называем точкой разрыва первого рода функции f;

б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода функции f.

Поскольку в изолированной точке x0 ϵ X функция f: X  R непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точкиx ϵ X.


Основные свойства непрерывных функций

Функция f: [a, b] → R называется непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на интервале ]a, b[ и в точке aнепрерывна справа, а в точке b - слева.

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], тогда:

1) она ограничена на этом сегменте;

2) если , то на сегменте [a, b] существуют точки x1 и x2 такие, что f(x1) = m, f(x2) = M (теорема Вейерштрасса);

3) она принимает на каждом сегменте , все промежуточные значения между f(α) и f(β) (теорема Коши).

В частности, если f(α)f(β) < 0, то найдется такое значение γ (α < γ < β), то f(γ) = 0.

Функция f: ]a, b[ → R называется кусочно-непрерывной на интервале ]a, b[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины