49. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Лагранжа Коши и их геометрический смысл.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то  такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то  такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)  (а<с<b). Док-во:  tgα=k=(f(b)-f(a))/(b-a) ⇒ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим  вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси  f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a)  x∈(a,b) и F(a)=0=F(b) ⇒ по теореме Ролля ∃ с∈(a,b) | F’(c)=0 ⇒ f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

  Теорема  Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой с∈(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая  есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))

Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g’(x)≠0 в (а, b), то существует точка c∈(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) 

Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)≠0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g’(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))⋅(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a))  В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c∈(a, b), в которой F’(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))⋅g’(x)/(g(b)-g(a))  поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.