Теорема Лагранжа
Если функция f:
[a, b]
→ R непрерывна
на сегменте [a, b]
и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого
сегмента, то такое,
что f(b)
- f(a)
= f'(ξ)(b - a).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна
на [a, b]
и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[
и если, кроме того, производная g'(x)
≠ 0 на ]a, b[,
то такое,
что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную на интервале (а,b). Тогда существует на интервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (а<с<b). Док-во: tgα=k=(f(b)-f(a))/(b-a) ⇒ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x∈(a,b) и F(a)=0=F(b) ⇒ по теореме Ролля ∃ с∈(a,b) | F’(c)=0 ⇒ f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой с∈(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))
Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g’(x)≠0 в (а, b), то существует точка c∈(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)≠0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g’(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))⋅(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c∈(a, b), в которой F’(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))⋅g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверждение теоремы.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.