» » »

41. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференциирования. Таблица производных.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение

 

Пусть в некоторой окрестности точки src=http://upload.wikimedia.org/math/c/d/a/cdac0fe023d5bb953f05b65bcc9ba4dd.png

определена функция src=http://upload.wikimedia.org/math/e/5/a/e5a341ab8579eff1c1684202bf8a2da3.png

Производной функции называется такое числоА , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) если А существует.

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

 

Производнаяsrc=http://upload.wikimedia.org/math/5/1/4/514aa15f3d87535827b934042318967b.png

функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

src=http://upload.wikimedia.org/math/1/0/b/10bcfd73821e6030f60dc4747857a1b4.png

Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление

src=http://upload.wikimedia.org/math/9/3/4/934fa3e99c86952ffbf80b621773c0a4.png

Геометрический и физический смысл производной


Тангенс угла наклона касательной прямой

 

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Основная статья: Касательная прямая

 

Если функция src=http://upload.wikimedia.org/math/5/c/d/5cd877fcee1c3a65b61e188e7bac8997.png

имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией

src=http://upload.wikimedia.org/math/e/3/0/e30ca3253124d4df4b55b6ae23a529de.png

Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число src=http://upload.wikimedia.org/math/5/1/4/514aa15f3d87535827b934042318967b.png

является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.


Скорость изменения функции

 

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

 

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Производные высших порядков

 

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем  Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением src=http://upload.wikimedia.org/math/f/2/0/f20057ffe37542a3461387b9ac10653c.pngsrc=http://upload.wikimedia.org/math/e/d/7/ed7f740c6c31e526d4b3accc096c9aff.png Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда src=http://upload.wikimedia.org/math/3/d/5/3d51bde6ff938f534a54ec3933120aca.png

Если функцияsrc=http://upload.wikimedia.org/math/8/0/4/804d5743719363bea5c7870be3f6452c.png

имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от src=http://upload.wikimedia.org/math/e/9/d/e9d6155fa8b12d14d2fbc6e518c771db.png

может иметь в некоторой точке

src=http://upload.wikimedia.org/math/8/8/6/8866b5f749938d70e902a1f2eea709de.png

частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции src=http://upload.wikimedia.org/math/8/0/4/804d5743719363bea5c7870be3f6452c.png

эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

src=http://upload.wikimedia.org/math/5/6/f/56f74e37623db74499f967ed45b441c9.png

src=http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcb31502f7acef17d5681de0f1640464.png

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

src=http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcb31502f7acef17d5681de0f1640464.png

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

C' = 0

x' = 1

src=http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b59d52dd448565c042ad370f6f739cba.png
src=http://upload.wikimedia.org/math/0/c/1/0c1550aec08eea68a3d63c41b8a80c69.png
src=http://upload.wikimedia.org/math/e/0/e/e0ec8890ff081e5a1ac77983f25a638d.png
src=http://upload.wikimedia.org/math/1/d/9/1d95e98012ccbfd2e6b7edb4b6d6af57.png
src=http://upload.wikimedia.org/math/0/5/e/05e0f9903d0069e6010eeab1e2ddc888.png
Если функция задана параметрически:
src=http://upload.wikimedia.org/math/c/6/e/c6e155506633b0606de7cc9aa5d25465.png

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины