41. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференциирования. Таблица производных.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки 

определена функция 

Производной функции называется такое числоА , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) если А существует.

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная

функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция 

имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией

Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число 

является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем  Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением  Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда 

Если функция

имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от 

может иметь в некоторой точке

частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции 

эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

C' = 0

x' = 1

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.