» » »

22. Различные уравнения плоскости в пространстве. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

§ 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A,B,C} и точка М0=(x0,y0,z0).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М0, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Утверждение 1: М  Π ó  М0М n.

М0М={x-x0, y-y0, z-z0}  n ó  A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. (*)

(См. свойства скалярного произведения)

  • Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax0-By0-Cz0.

Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.

 

Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n={3,1,1} и проходящей через точку М(2,-1,1).

Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).

 

§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

 

Пусть в декартовой системе координат дан вектор a={p,q,r} и точка М0=(x0,y0,z0).

Построим прямую l, проходящую через т. М0, параллельную вектору a (этот вектор называютнаправляющим вектором прямой).

Утверждение 2: М l ó М0М || a.

М0М={x-x0, y-y0, z-z0} || a ó  tR, т.ч. М0М=t·a => 

  • Параметрические уравнения прямой в пространстве:

(**)

Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.

В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t0=0 он находится в точке М0, в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).

Теперь несколько преобразуем формулы (**).

Выразим из каждой строчки параметр t: 

  • Канонические уравнения прямой в пространстве:

Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.

Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида  в данном случае допустимо.

Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.

 

Если две плоскости и  пересекаются, то они пересекаются по прямой, которую обозначим буквой l (рис. 42). Прямая l делит каждую плоскость на две полуплоскости.

Фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей а, называется двугранным углом (рис. 42). При этом прямая а — ребро угла, а полуплоскости - грани угла.

Двугранный угол измеряется величиной линейного угла, т. е. угла, образованного двумя лучами, перпендикулярными ребру угла и принадлежащими их граням.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары смежных углов. Меньший из смежных углов называется углом между плоскостями. Если один из этих углов равен 90°, то и остальные равны по 90°, а соответствующие плоскости называются перпендикулярными. Если две плоскости параллельны, то углы между ними принимаются равными нулю.

Взаимное расположение двух плоскостей 

     Если , то они:

     1) пересекаются 

     2) параллельны (но не совпадают) 

     3) совпадают 

     Если плоскости заданы уравнениями  и  то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки М00, у0, z0)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

            Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

 

           

 

Таким образом, A = 4/13;  B = -3/13;   C = 12/13, воспользуемся формулой:

 

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

 

 

 

            Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3)  перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

            Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости.

            Получаем:

 

            Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

            Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B,C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

            Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0;    D = -21.

 

            Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

 

            Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

            Находим координаты вектора нормали = (4,  -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y+ 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

D = -169

            Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

 

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1),

A4(1; 2; 5).

 

1)      Найти длину ребра А1А2.

 

2)      Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.

           

3)      Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

 

Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3  как векторное произведение векторов и.

 

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

 

            Найдем угол между вектором нормали и вектором .

-4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 - b.

 

4)      Найти площадь грани А1А2А3.

5)      Найти объем пирамиды.

 

 (ед3). 

6)      Найти уравнение плоскости А1А2А3.

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.