» » »

6. Системы m линейных неоднородных уравнений с n неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

Общие системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

i=1,…..,m; j=1,…..,n,          (1)

где aij- коэффициенты системы, xj-неизвестные, bi- свободные члены.

Совокупность чисел  называется решением системы, если она обращает в тождество все уравнения системы.
Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, если решений нет- несовместной.

Если совместная система имеет только одно решение, она называется определенной, если более одного - неопределенной.

Матрица A, составленная из коэффициентов системы и свободных членов

называется расширенной матрицей системы (1).

Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы A системы был равен рангу основной матрицы A. Если при этом он равен числу неизвестных, то система определенная.

Теорема Кронекера – Капелли

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

            Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

 

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn 


  Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

 

                     А = ;  = 2 + 12 = 14 ¹ 0;    RgA = 2;

 

A* = 

 

        RgA* = 2.

            Система совместна. Решения: x1 = 1;  x2 =1/2.

Методы решения общих систем линейных уравнений.

Метод Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

 i=1,…..,m; j=1,…..,n,                     (1) 

Пусть. Разделим все члены первого уравнения на  :

                                                               (2)
где
(j =1,2…n + 1),                                                                      (3)

Рассмотрим i-е уравнение системы(1):

                                                            (4)

Для исключения из этого уравнения х1 умножим уравнение (2) на 
и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

                                                                    (5)

где                                                     (6)

Таким образом, получаем укороченную систему

                                                                  (7)

коэффициенты которой определяют по формулам (6).

Если ее ведущий коэффициент  , то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное х2, причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных х12,...хn рассмотрим уравнения

                                                              (8)

Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход):

                                (9)

Заметим ,что операции (9 )выполняются без деления.
Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Пример.
Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение:

Выписав расширенную матрицу этой системы, после ряда элементарных преобразований (проследить порядок которых рекомендуем самостоятельно), получим:

откуда

Решая последнюю систему, находим

Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы и равен, очевидно, двум. Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых можно получить, придавая х3 и х4 конкретные значения.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.