» » »

40. Точка разрыва функции. Классификация точек разрыва. Непрерывность

Точки разрыва функции
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. 

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
  • Существуют левосторонний предел  и правосторонний предел ;
  • Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
  • Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
    Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
  • Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
    Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 
    Пример 3.13   Рассмотрим функцию $ (функция Хевисайда) на отрезке $, $. Тогда $ непрерывна на отрезке $ (несмотря на то, что в точке $ она имеет разрыв первого рода).     

Рис.3.15.График функции Хевисайда


Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида $ и $, включая случаи $ и $. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества $ следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на $ базы: пусть $ -- база, все окончания $ которой имеют непустые пересечения с $. Обозначим $ через $ и рассмотрим множество всех $. Нетрудно тогда проверить, что множество $ будет базой. Тем самым для $ определены базы $, $ и $, где $, $ и $ -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки$ (их определение см. в начале текущей главы).

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] выполняется условие –M £ f(x) £ M.

 

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = mf(x2) = M, причем

m £ f(x) £ M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

 

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

 

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.

 

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

 

Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х0: f(x0) = 0.

 

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х1Î[a,b] и x2Î[a,b] таких, что

ïх2 – х1ï< D

верно неравенство ïf(x2) – f(x1)ï < e

 

 Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.

 

 Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

 

 Пример. 



Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины