» » »

Вопрос 2. Частные производные. Определение и геометрические смыслы

1.4. Частные производные первого порядка

Будем рассматривать функции трех независимых переменных. Пусть в некоторой трехмерной области Vзадана функция u=f(x,y,z) переменных x,y,z и пусть M0(x0,y0,z0) - некоторая внутренняя точка V.

Дадим независимому переменному x приращение Δx=x-x0, тогда функция и получит так называемое частное приращение по x:

Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx  0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М0 и обозначается одним из символов:

По определению,
Частные производные по y и по z определяются аналогично:

Производные f'x, f'y, f'z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными.

Так как частное приращение Δxf(M0) получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f'x(M0) может рассматриваться как производная функции f(x,y0,z0) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x.

Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным.

Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.

Пример 1.6. Найти частные производные функции u=z-xy, z > 0.

Решение

пример 1.7. Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

Решение

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z), кроме точки М0(a;b;c).

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z'x=f'x(х,у) и z'y=f'y(х,у).

В этом случае уравнение z=f(х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const. В сечении этой плоскостью поверхности z=f(х,у) получится некоторая линия l1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z.

Частная производная z'x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L1 к кривой l1, получающейся в сечении поверхности z=f(х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z'x= tgα.

В сечении же поверхности z=f(х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l2, вдоль которой изменяются лишь величины у и z. Тогда частная производная z'y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу, касательной L2 к указанной линии l2пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z'x= tgβ.

пример 1.8. Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:

в точке М(2,4,5)?

Решение

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у):


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины