» » »

Вопрос 3. Полный дифференциал функции двух переменных

Определение 1.8. Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у),M0(x0;y0) - внутренняя точка области D, M(x0+Δx;y+Δy) - соседняя с M0 точка из D.

Рассмотрим полное приращение функции:

Если Δz представлено в виде:

где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy),  - расстояние междуM и M0, α(Δx,Δy) - бесконечно малая при Δx  0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M0, а выражение
называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M0.

Теорема 1.1. Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M0, то

Доказательство

Так как в (1.16) Δx, Δy - произвольные бесконечно малые, то можно взять Δy =0, Δx≠0, Δx 0, тогда
после чего из (1.16) следует

Тогда

Аналогично доказывается, что

и теорема 1.1. доказана.

Замечание: из дифференцируемости z =f(х,у) в точке M0 следует существование частных производных. Обратное утверждение неверно (из существования частных производных в точкеM0 не следует дифференцируемость в точке M0 ).

В итоге, с учётом теоремы 1.1 формула (1.18) примет вид:

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке M0, непрерывна в этой точке (так как из (1.17) следует, что при Δx  0, Δy  0: Δz  0, z(M)  z(M0)).

Замечание: Аналогично для случая трех и более переменных. Выражение (1.17) примет вид:

где

Используя геометрический смысл (рис.1.3) частных производных  и можно получить следующее уравнение (1.24) касательной плоскости πкасs к поверхности: z =f(х,у) в точке C0(x0,y0,z0), z0=z(M):

Из сравнения (1.24) и (1.21) получаем геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных:

- приращение аппликаты z при движении точки С по касательной плоскости из точки С0 в точку
где  находится из (1.24).

Уравнение нормали  к поверхности: z =f(х,у) в точке С0 получается, как уравнение прямой, проходящей через С0 перпендикулярно к касательной плоскости:


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины