Тройные интегралы
I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
II. Замена переменных в тройном интеграле
1. Цилиндрические координаты 2. Сферические координаты.
Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)
I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.
Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда
Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.
Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь
где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.
Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.
2. Пусть область T заключена
между плоскостями x
= a и x = b, причём
каждое сечение области T плоскостью представляет собой
квадрируемую фигуру G(x)(рис.
1). Тогда
3. Пусть теперь тело T представляет собой цилиндрический брус, ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z1(x, y) и z = z2(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z1(x, y) и z2(x, y) - непрерывны в G. Тогда
Если G
= {(x, y): a x
b, y1(x)
y
y2(x)}, то
Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.
II.
Замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x,
y, z к
новым переменным u,
v, w по
формулам
Если выполняются условия
1?. Отображение (6) взаимно однозначно;
2?. Функции в (6)
непрерывно - дифференцируемы в области
3?. Якобиан отображения
то имеет место формула
Формулы (6) называют криволинейными координатами (u, v, w) в области T. Рассмотрим примеры криволинейных координат.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x,
y, z) -
произвольная точка в пространстве xyz, P -
проекция точки M на
плоскость xy.
Точка M однозначно
определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z -
аппликата точки M.
Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения
(8)
2.
Сферические координаты. Пусть M(x,
y) -
произвольная точка в пространстве xyz, P -
проекция точки M на
плоскость xy.
Точка M однозначно
задаётся тройкой чисел , где r -
расстояние точки M до
точки 0,
- угол между лучами OM и OZ,
- полярный угол точки P на
плоскости xy.
Тройка чисел
называется сферическими
координатами точки M.
Они связаны с прямоугольными формулами
Якобиан отображения . Иногда используются
обобщённые сферические координаты.
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах
Пусть T -
материальное тело (кубируемая область) с плотностью
Тогда
- масса тела.
Пример1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 - ax = 0. (рис. 5)
Решение. Рассмотрим
одну четвёртую часть тела, лежащёю в первом октанте. Часть поверхности вырезанная
цилиндром, проектируется в область
. Тогда
Перейдём
в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам (8). При этом
уравнение окружности x?
+ y? - ax = 0 преобразуется
в кривую а уравнение поверхности
- к виду
Таким образом
где T -
область, ограниченная поверхностями
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
А, значит,
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.