» » »

Вопрос 9. Условный экстремум функций двух переменных. Метод множителей Лагранжа

Условный экстремум функции нескольких переменных

        Во многих задачах на отыскание экстремума функции вопрос сводится к нахождению экстремума функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, которые можно записать в виде уравнений, называемых уравнениями связи.

        Рассмотрим, например, такую задачу: из данного куска жести площадью 2а квадратных единиц (кв. ед.) надо сделать закрытуюкоробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объём.

Image3611.gifОбозначим линейные размеры коробки через х, у, z . Задача сводится к отысканию максимума функции v  = хуz при условии, что 2ху + 2хz  + 2уz  = 2а. Полная поверхность параллелепипеда равна площади куска жести. Здесь мы имеем задачу на условный экстремум: переменные х, у, z связаны условием 2ху + 2хz  + 2уz  = 2а. Ниже мы рассмотрим метод решения подобных задач. Ограничимся задачей об  условном   экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны только одним условием.

Определение. Условным экстремумом функции z  f (ху) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии,  что переменные х и у связаны уравнением (х, у) = 0 (уравнением связи).

        Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  (см. тему № 14  ):

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестными х, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Замечание. В сущности, исследование на условный экстремум функции z  = f (ху), при условии  (х, у) = 0 сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа.

u  = f (х, у) + (х, у),         (7)

где – неопределённый постоянный множитель.

Необходимые условия для неё:                                                   (8)

Сравните с системой (6).

Сформулируем (без вывода) достаточное условие условного экстремума в критической точке M0(x0,y0), предполагая, что функции z  = f (ху) и (х, у) = 0 имеют в точке M0 непрерывные частные производные второго порядка.

Составим функцию Лагранжа u  f (ху) + (х, у) и определитель:

.

Если определитель, то M0 есть точка условного минимума, если , то M0 –  точка условного максимума.

Пример18. Найти экстремумы функции  z = x2  y2   при условии 2x  y = 3.

Решение. Составим систему (6), считая (x, y) = 2x   y  3:.

Исключая   из первых двух уравнений, получим:

Проверим достаточное условие. Вычислим :

Значит, точка (2, 1) не является экстремальной для функции  z = x2  y2, но является точкой условного экстремума (условный максимум) функции   z = x2  y2   при условии   2x - y = 3: zmax = 3.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.