Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » Вопрос 9. Условный экстремум функций двух переменных. Метод множителей Лагранжа

Вопрос 9. Условный экстремум функций двух переменных. Метод множителей Лагранжа

Условный экстремум функции нескольких переменных

        Во многих задачах на отыскание экстремума функции вопрос сводится к нахождению экстремума функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, которые можно записать в виде уравнений, называемых уравнениями связи.

        Рассмотрим, например, такую задачу: из данного куска жести площадью 2а квадратных единиц (кв. ед.) надо сделать закрытуюкоробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объём.

Image3611.gifОбозначим линейные размеры коробки через х, у, z . Задача сводится к отысканию максимума функции v  = хуz при условии, что 2ху + 2хz  + 2уz  = 2а. Полная поверхность параллелепипеда равна площади куска жести. Здесь мы имеем задачу на условный экстремум: переменные х, у, z связаны условием 2ху + 2хz  + 2уz  = 2а. Ниже мы рассмотрим метод решения подобных задач. Ограничимся задачей об  условном   экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны только одним условием.

Определение. Условным экстремумом функции z  f (ху) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии,  что переменные х и у связаны уравнением (х, у) = 0 (уравнением связи).

        Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (ху) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия  (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства  (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные  и  (см. тему № 14  ):

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть    .      (3)

 также равна нулю, так как  (ху) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

    (5)

 –  неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём    так, чтобы для значений х и у, соответствующи экстремуму функции f  (ху),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестными х, у,  :

                        (6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент  , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Замечание. В сущности, исследование на условный экстремум функции z  = f (ху), при условии  (х, у) = 0 сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа.

u  = f (х, у) + (х, у),         (7)

где – неопределённый постоянный множитель.

Необходимые условия для неё:                                                   (8)

Сравните с системой (6).

Сформулируем (без вывода) достаточное условие условного экстремума в критической точке M0(x0,y0), предполагая, что функции z  = f (ху) и (х, у) = 0 имеют в точке M0 непрерывные частные производные второго порядка.

Составим функцию Лагранжа u  f (ху) + (х, у) и определитель:

.

Если определитель, то M0 есть точка условного минимума, если , то M0 –  точка условного максимума.

Пример18. Найти экстремумы функции  z = x2  y2   при условии 2x  y = 3.

Решение. Составим систему (6), считая (x, y) = 2x   y  3:.

Исключая   из первых двух уравнений, получим:

Проверим достаточное условие. Вычислим :

Значит, точка (2, 1) не является экстремальной для функции  z = x2  y2, но является точкой условного экстремума (условный максимум) функции   z = x2  y2   при условии   2x - y = 3: zmax = 3.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины