» » »

38. ДУ с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

О: В качестве дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными принято определять ОДУ первого порядка, приводящиеся к виду20.3_html_m70c0f7e5.gif(ДУ с разделенными переменными).

Запишем такие уравнения:

а)20.3_html_5af3931d.gif

б)20.3_html_m6df63e73.gif

Опорный конспект № 20 содержит методы решения подобных уравнений.

Пример 1: ДУ (20.1), составленное в задаче о радиоактивном распаде, представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, оно эквивалентно дифференциальному уравнению

 

20.3_html_2e1a6625.gif

 

Пример 2:

 

20.3_html_m49205821_show.gif

 

О: Функцию20.3_html_510c428c.gifможно определить в качестве однородной, если это функция20.3_html_6efbf575.gif-го измерения по отношению к переменным20.3_html_m2448f423.gifи20.3_html_m39057250.gif, причем при всяком20.3_html_m309a169d.gifсправедливо тождество20.3_html_m6a4fd71d.gif

Пример 1:20.3_html_m2a99e857.gifпредставляет собой однородную функцию первого измерения, поскольку20.3_html_m13bddee9.gif

Пример 2: 20.3_html_mc156943.gifможно назвать функцией нулевого измерения по причине того, что20.3_html_33b10a48.gif

О: Однородным по отношению к20.3_html_m2448f423.gifи20.3_html_m2448f423.gifи20.3_html_m39057250.gif.

Учитывая то, что20.3_html_57d755ee.gifобозначим однородное уравнение в следующем виде:20.3_html_28dfcc80.gif. Таким образом, заменой20.3_html_72461d16.gifпри20.3_html_m285e155.gif, оно может быть записано в качестве дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (ОК № 20).

Пример:

 

20.3_html_29db5412_show.gif

 

Замечание. Уравнение20.3_html_m32e4728f.gifназывается однородным при условии, что20.3_html_330e74d2.gifи20.3_html_59468ac1.gifявляются однородными функциями одного измерения.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.