» » »

28. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

12.1. Экстремумы функции нескольких переменных

О: Точкаsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2668.jpgназывается точкой максимума (минимума)

функцииsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2669.jpg(х, у), еслиsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2670.jpg src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2671.jpg

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами (рис. 12.1).

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2672.jpg

Рис. 12.1

Примеры: 1)src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2673.jpg

Очевидно т. (1, 2) является т. mm, так как все остальные значения х и у дадут z > -1

2)src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2674.jpg В данном случае т.src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2675.jpg(0, 0) является т. max, так какsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2676.jpg

Т: (необходимое условие экстремума)

Если функция г =src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2677.jpg(х,у) имеет экстремум в т.src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2678.jpgто

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2679.jpg или обращаются в нуль, или не существуют

Пусть у =src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2680.jpgтогдаsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2681.jpg— функция одной переменной. Так как при х =src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2682.jpgона имеет экстремум, то

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2683.jpg

Доказательство при х =src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2684.jpgаналогично Эти условия не являются достаточными.

Пример:src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2685.jpgобращаются в нуль в т. О(0,0),

но ху > 0 при х > 0, у > 0, ху < 0 при х < 0, у > 0, т.е. определение экстремума не выполняется.

Приведем достаточные условия экстремума для стационарных

т.src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2686.jpgв которыхsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2687.jpg

Т: (достаточные условия экстремума) Пусть в некоторой области, содержащей т.src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2688.jpgфункцияsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2689.jpgимеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и эта точка является стационарной.

Пустьsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2690.jpg

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2691.jpg

Доказательство см. в [11. С. 419].

Пример: Исследовать на экстремумsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2692.jpg

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2693.jpg

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2694.jpg

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2695.jpgsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2696.jpg — стационарные точки,

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2697.jpg

1)src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2698.jpg— точка минимума,

2)т.src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2699.jpg— точка

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2700.jpg максимума,

3)src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2701.jpg экстремума нет,

4)src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2702.jpgэкстремума нет

Для функции п переменныхsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2703.jpgопределение экстремума и

необходимые условия сохраняются. Необходимое условие в случае дифференцируемой функцииsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2704.jpgкратко запишется в виде:src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2705.jpg

Сформулируем достаточные условия экстремума.

Т: Если в стационарной т.src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2706.jpgвторой дифферен-

циал

src=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2707.jpg

является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, тоsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2708.jpg— точка min (max)

Доказательство см. в [11. С. 424].

Сформулированные ранее достаточные условия экстремума для функцииsrc=http://naukoved.ru/pic/matem/tmpB2E-2709.jpgявляются следствием данной теоремы.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.