» » »

56. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.

Формула Грина
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина
где символ  указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. 


Если , то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. 


Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. 


Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем векторного поля  называется вектор, обозначаемый  или  и равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из теоремы Стокса при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. 

 Некоторые приложения криволинейных интегралов 

     Длина кривой 


     Масса кривой 

( - плотность кривой).


     Координаты центра масс 


     Работа 

     Работа силы  вдоль кривой l:

  Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования

Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны в некоторой области D пространства XYZ. Будем рассматривать в этой области только кусочно-гладкие кривые.

Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D. По каждой из этих кривых интеграл  имеет, вообще говоря, свое значение. Определенный интеграл Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x)

Вычислим, например, интеграл  по отрезку прямой АВ, соединяющему точки А(1, 0, 0) и В(1, 1, 1)

Уравнения прямой АВ:  т.е. x = 1, y = z.

Выбирая за параметр y, имеем:

Вычислим теперь тот же интеграл по дуге параболы АВ, заданной уравнениями

x = 1, z = y2. Выбирая за параметр y (x = 1, y = y, z = y2, yA = 0, yB = 1), получим:

Этот пример показывает, что значения интеграла  зависят от формы кривой, по которой производится интегрирование.

Можно, однако, привести примеры криволинейных интегралов, значения которых по любым кривых, соединяющим данные точки А и В, будут одни и те же. Такими, как можно показать, являются интегралы:

  и др.

Будем говорить, что интеграл  в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможным кусочно-гладким кривым, лежащим в данной области и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы. В этом случае при записи интеграла достаточно указывать лишь начальную и конечную точки пути интегрирования, в связи с чем приняты обозначения:

 или 

Независимость криволинейного интеграла  в области D от формы пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла, вдоль всякой замкнутой кривой L, лежащей в области D.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл , где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – функции, непрерывные в области D, в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение   было полным дифференциалом некоторой функции (в области D).

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) в области D  имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение  в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:

  

в каждой точке области D.



Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.