Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » 56. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.

56. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.

Формула Грина
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина
где символ  указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. 


Если , то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. 


Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. 


Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем векторного поля  называется вектор, обозначаемый  или  и равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из теоремы Стокса при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. 

 Некоторые приложения криволинейных интегралов 

     Длина кривой 


     Масса кривой 

( - плотность кривой).


     Координаты центра масс 


     Работа 

     Работа силы  вдоль кривой l:

  Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования

Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны в некоторой области D пространства XYZ. Будем рассматривать в этой области только кусочно-гладкие кривые.

Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D. По каждой из этих кривых интеграл  имеет, вообще говоря, свое значение. Определенный интеграл Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x)

Вычислим, например, интеграл  по отрезку прямой АВ, соединяющему точки А(1, 0, 0) и В(1, 1, 1)

Уравнения прямой АВ:  т.е. x = 1, y = z.

Выбирая за параметр y, имеем:

Вычислим теперь тот же интеграл по дуге параболы АВ, заданной уравнениями

x = 1, z = y2. Выбирая за параметр y (x = 1, y = y, z = y2, yA = 0, yB = 1), получим:

Этот пример показывает, что значения интеграла  зависят от формы кривой, по которой производится интегрирование.

Можно, однако, привести примеры криволинейных интегралов, значения которых по любым кривых, соединяющим данные точки А и В, будут одни и те же. Такими, как можно показать, являются интегралы:

  и др.

Будем говорить, что интеграл  в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможным кусочно-гладким кривым, лежащим в данной области и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы. В этом случае при записи интеграла достаточно указывать лишь начальную и конечную точки пути интегрирования, в связи с чем приняты обозначения:

 или 

Независимость криволинейного интеграла  в области D от формы пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла, вдоль всякой замкнутой кривой L, лежащей в области D.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл , где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – функции, непрерывные в области D, в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение   было полным дифференциалом некоторой функции (в области D).

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) в области D  имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение  в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:

  

в каждой точке области D.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины