Формула Грина
|
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
![]() ![]() ![]() ![]() |
Если
![]() ![]() |
Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.
|
Пусть векторное поле описывается функцией
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
( - плотность кривой).
Работа силы вдоль кривой l:
Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D. По каждой из этих кривых интеграл Вычислим, например, интеграл Уравнения прямой АВ: Выбирая за параметр y, имеем: Вычислим теперь тот же интеграл по дуге параболы АВ, заданной уравнениями x = 1, z = y2. Выбирая за параметр y (x = 1, y = y, z = y2, yA = 0, yB = 1), получим: Этот пример показывает, что значения интеграла Можно, однако, привести примеры криволинейных
интегралов, значения которых по любым кривых, соединяющим данные точки
А и В, будут одни и те же. Такими, как можно показать, являются
интегралы: Будем говорить, что интеграл Независимость криволинейного интеграла Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) в области D в каждой точке области D. имеет, вообще говоря, свое значение. Определенный интеграл Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x)
по отрезку прямой АВ, соединяющему точки А(1, 0, 0) и В(1, 1, 1)
т.е. x = 1, y = z.
зависят от формы кривой, по которой производится интегрирование.
и др.
в области D не
зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможным
кусочно-гладким кривым, лежащим в данной области и имеющим общее начало
и общий конец, одинаковы. В этом случае при записи интеграла достаточно
указывать лишь начальную и конечную точки пути интегрирования, в связи
с чем приняты обозначения:
или
в области D от формы пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла, вдоль всякой замкнутой кривой L, лежащей в области D.
, где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – функции, непрерывные в области D, в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение
было полным дифференциалом некоторой функции (в области D).
имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение
в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.