Интегралы типа называют
неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно
найти следующим обpaзoм: под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.
Пример 8.1. Найти интегралы
Решение: Так как,
то
Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда
Пример 8.2. Найти интеграл
Решение: Так как 6-2х-х2=-(х2+2х-6)=-((х+1)2-7)=7-(х+1)2, то подстановка имеет вид х+1=t, х=t-1, dx=dt. Тогда
Интегралы типа , где Рn(х) - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой
где Qn-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.
Пример 8.3. Найти интеграл
Решение: По формуле (33.1) имеем:
Дифференцируя это равенство, получаем:
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2. Следовательно,
Действительно, из подстановки следует, что
и
т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.
Пример 8.4. Найти интеграл
Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.
Поэтому полагаем х+2=t6, х=t6-2, dx=6t5 dt, Следовательно,
Пример 8.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
Решение: Для I1 подстановка х=t2, для I2 подстановка
Пример 8.6. Найти интеграл
Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда
Пример 8.7. Найти интеграл
Решение: Так как х2+2х-4=(х+1)2-5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. ПоэтомуПоложим
Тогда
Замечание: Интеграл типа целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.
Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:
1) если р - целое число, то подстановка х=tk, где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
2) если (m+1)/n - целое число, то подстановка где s —знаменатель дроби р;
3) если (m+1)/n+р - целое число, то подстановкагде s - знаменатель дpоби р.
Во всех остальных случаях интегралы типане выражаются через известные элементарные функции,т. е. «не берутся».
Пример 8.8. Найти интеграл
Решение: Так как
то
Поэтому делаем подстановку
Таким образом,
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.