Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа  называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим обpaзoм: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 8.1. Найти интегралы 

Решение: Так как, 

то

Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда

 

Пример 8.2. Найти интеграл 

Решение: Так как 6-2х-х²=-(х²+2х-6)=-((х+1)²-7)=7-(х+1)², то подстановка имеет вид х+1=t, х=t-1, dx=dt. Тогда

Интегралы типа  , где Р_n(х) - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой

где Q_n-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.

 

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

 

Пример 8.3.  Найти интеграл 

Решение: По формуле (33.1) имеем:

Дифференцируя это равенство, получаем:

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2. Следовательно,

Интегралы типа   где а, b, с, d - действительные числа, a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки  где К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей 

Действительно, из подстановки  следует, что  и

т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби  выражается через рациональную функцию от t.

 

Пример 8.4.  Найти интеграл 

Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.

Поэтому полагаем х+2=t⁶, х=t⁶-2, dx=6t⁵ dt,  Следовательно,

 

Пример 8.5.  Указать подстановку для нахождения интегралов:

Решение: Для I₁ подстановка х=t², для I₂ подстановка 

Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а•sint для первого интеграла; х=а•tgt для второго интеграла;  для третьего интеграла.

 

Пример 8.6.  Найти интеграл 

Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е. к интегралам типа  Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

 

Пример 8.7.  Найти интеграл

Решение: Так как х²+2х-4=(х+1)²-5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. ПоэтомуПоложим

Тогда

Замечание: Интеграл типа  целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.

Интегралы типа(называемые интегралами от дифференциального бинома),где а, b - действительные числа; m, n, р - рациональные числа, берутся, как показал Чебишев П.А., лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел р, (m+1)/n  или (m+1)/n+р является целым.

Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:

1) если р - целое число, то подстановка х=t^k, где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2)  если   (m+1)/n - целое число, то подстановка где s —знаменатель дроби р;

3)  если (m+1)/n+р - целое число, то подстановкагде s - знаменатель дpоби р.

Во всех остальных случаях интегралы типане выражаются через известные элементарные функции,т. е. «не берутся».

 

Пример 8.8.  Найти интеграл

Решение: Так как

то    

Поэтому делаем подстановку

Таким образом,