» » »

6. Интегрирование квадратичных иррациональностей.

  • Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа  называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим обpaзoм: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 33.1. Найти интегралы 

Решение: Так как, 

то

Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда

 

Пример 33.2. Найти интеграл 

Решение: Так как 6-2х-х2=-(х2+2х-6)=-((х+1)2-7)=7-(х+1)2, то подстановка имеет вид х+1=t, х=t-1, dx=dt. Тогда

Интегралы типа  , где Рn(х) - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой

где Qn-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.

 

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

 

Пример 33.3.  Найти интеграл 

Решение: По формуле (33.1) имеем:

Дифференцируя это равенство, получаем:

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2. Следовательно,


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины