9. Интегрирование тригонометрических функций.

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R - знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типасводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой  , которая называетсяуниверсальной.

Действительно,

 ,

Поэтому

где R₁(t) - рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:

1)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  sinx,  т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;

2)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  cosx,  т.е. R(sinx; - cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;

3)  если функция  R(sin x; cos x)   четна  относительно sinx   и  cosx R(— sin x; - cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид 

 

Пример 32.1.  Найти интеграл 

Решение: Cделаем универсальную подстановку   Тогда dx=  ,  , . Следовательно,

 
 

Пример 32.2.  Найти интеграл   

Решение: Так как

то полагаем tg x=t. Отсюда

Поэтому

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1)  подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечетное число;

2)  подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число;

3)  формулы   понижения   порядка:   cos²x=1/2(1+cos2x), sin²x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка tg х=t, если m+n - есть четное отрицательное целое число.

 

Пример 32.3.  Найти интеграл 

Решение: Применим подстановку sinx=t. Тогда х=arcsint, dx  И

 

Пример 32.4.  Найти интеграл 

Решение:

Пример 32.5.  Найти интеграл 

Решение: Здесь m+n =-4. Обозначим tg x=t. Тогда х=arctg t,

  и

Интегралы типа  вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

 

Пример 32.6.  Найти интеграл   

Решение: