Вычисление неопределенных интегралов типасводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой
, которая называетсяуниверсальной.
Действительно,
,
Поэтому
где R1(t) - рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:
1) если функция R(sinx;cos x) нечетна относительно sinx, т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;
2) если функция R(sinx;cos x) нечетна относительно cosx, т.е. R(sinx; - cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;
3) если функция R(sin x; cos x) четна относительно sinx и cosx R(— sin x; - cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид
Пример 32.1. Найти интеграл
Решение: Cделаем универсальную подстановку Тогда dx=
,
,
. Следовательно,
Пример 32.2. Найти интеграл
Решение: Так как
то полагаем tg x=t. Отсюда
Поэтому
1) подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечетное число;
2) подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения порядка: cos2x=1/2(1+cos2x), sin2x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;
4) подстановка tg х=t, если m+n - есть четное отрицательное целое число.
Пример 32.3. Найти интеграл
Решение: Применим подстановку sinx=t. Тогда х=arcsint, dx И
Пример 32.4. Найти интеграл
Решение:
Пример 32.5. Найти интеграл
Решение: Здесь m+n =-4. Обозначим tg x=t. Тогда х=arctg t,
и
Пример 32.6. Найти интеграл
Решение:
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.