» » »

43. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. ЛОДУ 2-го порядка.

21.3.1. Линейные однородные ДУ n-го порядка.

О: ОДУ n-го порядка можно определить в качестве линейного при условии, что оно являтся линейным по отношению к начальной функции и всем ее производным:

 

(22.1)

22.1_html_19c92f5a.gif

 

здесь22.1_html_7d719e01.gifявляются непрерывными на интервале22.1_html_m46ad8a8a.gif.

В случае, когда22.1_html_52b4d106.gif, (22.1) именуется линейным однородным, в противоположной ситуации — линейным неоднородным уравнением.

Запишем общее решение ЛОДУ n-го порядка

 

22.1_html_m6c001aaa.gif

 

здесь22.1_html_1d7fb4ea.gifпредставлены в качестве произвольных постоянных, при этом22.1_html_m59b7408f.gifсоставляют фундаментальную систему решений, иными словами, определитель Вронского

 

22.1_html_48862585.gif

 

Для общего решения ЛНДУ (21.1) характерна та же структура, что и при22.1_html_57f660c.gif.

Случай уравнения вида22.1_html_78690dcb.gifможно назвать одним из самых простых. Общее его решение определяется последовательным n-кратным интегрированием:

 

22.1_html_48b06fc5_show.gif

О: ЛДУ 2-го порядка называется ДУ 2-го порядка, линейное относительно у, у', у , т.е.

src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-3998.jpg (21.3)

Дифференциальное уравнение

src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-3999.jpg (21.4)

получающееся из (21.3) при b(х) = О, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка (ЛОДУ 2п). Если b(х)src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4000.jpgО, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2п).

Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4001.jpg в окрестности т.src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4002.jpgприsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4003.jpgуравнение (21.3) имеет в окрестности т.src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4004.jpgединственное решение.

Т. (о линейной комбинации решений): Если функцииsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4005.jpgи

src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4006.jpg — решения уравнения (21.4),src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4007.jpgто их линейная комбинацияsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4008.jpgтакже является его решением

Подставим функциюsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4009.jpgи ее первую и вторую

производные в левую часть уравнения (21.4):

src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4010.jpg

Выражения в круглых скобках равны нулю, так какsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4011.jpg src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4012.jpg — решения уравнения (21.4)

О: Решенияsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4013.jpgобразуют фундаментальную

систему решений, если определитель Вронского

src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4014.jpg на интервалеsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4015.jpg

Т. (о структуре общего решения): Пустьsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4016.jpgне-

прерывны наsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4017.jpgЕсли решенияуравненияsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4018.jpg

(21.4) образуют фундаментальную систему решений, src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4019.jpg тоsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4020.jpgявляется общим решением

уравнения (21.4) наsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4021.jpg Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решенийsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4022.jpg src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4023.jpg является решением уравнения (21.4). Возьмем начальные условияsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4024.jpgПодставляя их вsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4025.jpg src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4026.jpg для определенияsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4027.jpgиsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4028.jpgполучаем систему

src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4029.jpg (21.5)

Ее определительsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4030.jpgявляется определите-

лем Вронского, вычисленным в т.src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4031.jpgОн не равен нулю по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решениеsrc=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4032.jpg src=http://masteroid.ru/pic/mat/tmpB2E-4033.jpg которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины