» » »

45. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (1-го и 2-го порядков).

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородное линейное дифференциальное уравнение

$\displaystyle

где $  -- функции от $ , имеет общее решение вида

$\displaystyle

где $ , $ ,...,$  -- линейно независимые частные решения дифференциального уравнения, а$ , $ ,...,$  -- произвольные постоянные.

Если коэффициенты $ , $ ,...,$ постоянны, то частные решения $ , $ ,...,$ могут быть найдены с помощью характеристического уравнения

$\displaystyle

Каждому вещественному корню $ этого уравнения кратности $ соответствуют $частных линейно независимых решений дифференциального уравнения $ , $ ,..., $ . Каждой паре сопряженных комплексных корней $ кратности $соответствуют $ пар частных решений $ , $ ,..., $ ,$ , $ ,..., $ . Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

$\displaystyle

необходимо найти общее решение $ соответствующего однородного уравнения

$\displaystyle

а также одно частное решение $ неоднородного уравнения. Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

$\displaystyle

Для поиска частного решения неоднородного уравнения в случае, если $  -- постоянные, можно использовать метод неопределенных коэффициентов. А именно, если $ является многочленом от $ с постоянными коэффициентами, либо$ , либо $ есть сумма или произведение указанных функций, то частное решение можно искать в таком же виде, но с другими коэффициентами, подлежащими определению. Исключение составляют особые (резонансные) случаи, когда либо 1) $  -- многочлен, и $ является корнем кратности $ характеристического уравнения, либо 2) $ , и $ являются корнями кратности $характеристического уравнения. В этих особых случаях частное решение отличается от правой части уравнения не только постоянными коэффициентами, то и дополнительным множителем $ .

Для решения неоднородного дифференциального уравнения малого порядка можно использовать метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Пусть $ и $  -- независимые частные решения уравнения $ . Тогда решение уравнения$ по методу Лагранжа находится в виде $ , где $ и $  -- функции от $ , удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений:

$\displaystyle

$\displaystyle

Следовательно,

$\displaystyle

Решив полученные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, получим и общее решение исходного дифференциального уравнения.

Теперь рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 

Ly=y(x)+py(x)+qy(x)=0,     (3)xR

где p и q - заданные действительные постоянные.

Частное решение дифференциального уравнения (7) будем искать в виде функции

y(x)=ekx,    (4)

где k - неизвестная постоянная. Функция ekx является решением дифференциального уравнения (3) только тогда, когда k является решением алгебраического уравнения:
k2+pk+q=0,     (5)

так как Lekx=ekx(k2+pk+q).

Алгебраическое уравнение (5) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3).

Для характеристического уравнения возможны три случая в зависимости от знака дискриминанта D=p24q .

1) Пусть D=p24q>0 . В этом случае уравнение (5) имеет два различных действительных корня k1 и k2. Тогда функции y1(x)=ek1x и y2(x)=ek2x является на R частными решениями уравнения (3). Решения ek1x иek2x линейно независимы на R и их линейная комбинация 

y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)=C1ek1x+C2ek2x

является общим решением д

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.


Copyright © IT-IATU 2011-2017