» » »

44. Неоднородные ДУ n-го порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНУ или ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/188.jpg, где p и q – константы.

Общее решение данного типа уравнений представляется в виде src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/189.jpg, где src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/190.jpg - общее решение однородного уравнения, полученного из исходного уравнения при src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/191.jpg, а src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/192.jpg - частное решение исходного уравнения (то есть выполняется src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/193.jpg)

Из этого следует, что сначала ищем решение однородного уравнения, затем – частное решение неоднородного уравнения. Как искать общее решение однородного уравнения мы уже поговорили в разделе Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОУ или ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/165.jpg, где p и q - константы 

Разберем все случаи нахождения частного решения неоднородного уравнения src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/194.jpg

В зависимости от вида функции src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/195.jpg, частные решения неоднородного уравнения находятся в различных видах:

  1. если src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/196.jpg представлена в виде многочлена (полинома) степени n (src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/197.jpg), то src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/198.jpg, где src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/199.jpg - многочлен степени n , а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю. Коэффициенты многочлена src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/199.jpgнаходятся из условия src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/200.jpg

    Пример. 

    Найти частное решение дифференциального уравнения src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/202.jpg, удовлетворяющее начальным условиям src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/203.jpg

    Решение. 

    Находим сначала src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/204.jpg, для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его.

    src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/205.jpg

    Общее решение однородного уравнения найдены, теперь ищем src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/206.jpg в виде src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/207.jpg (так как один корень характеристического уравнения равен нулю, а src=http://www.cleverstudents.ru/theory/images/diffequations/208.jpg - есть многочлен второй степени), где А , В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства , так как  - частное решение исходного уравнения.

    Нахождение этих коэффициентов чем то напоминает метод неопределенных коэффициентов при разложении рациональной дроби на простейшие .



    Это есть общее решение дифференциального уравнения.

    Найдем частное решение.



    Это есть частное решение дифференциального уравнения.


  2. если  представлена в виде произведения многочлена (полинома) степени n на экспоненту в степени  (), то , где  - многочлен степени n , а r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена  находятся из условия .

    Пример. 

    Найти общее решение дифференциального уравнения 

    Решение. 

    Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его.



    Общее решение однородного уравнения найдено, теперь ищем  в виде  (так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице, а  - есть многочлен второй степени), где А , В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства , так как  - частное решение исходного уравнения.



    Это есть общее решение дифференциального уравнения.


  3. если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из условия .

    Пример. 

    Найти общее решение дифференциального уравнения 

    Решение. 

    Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его.



    Общее решение однородного уравнения найдены, теперь ищем  в виде  (так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а ), где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства , так как  - частное решение исходного уравнения.



    Это есть общее решение дифференциального уравнения.


  4. если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных ,  - многочлены степени n , k , m и m соответственно. Коэффициенты многочленов  и находятся из условия .

    Пример. 

    Найти общее решение дифференциального уравнения 

    Решение. 

    Как видно, здесь 

    .

    Следовательно, 

    Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его.



    Общее решение однородного уравнения найдены, теперь ищем  в виде , где А , В , С и D – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства , так как  - частное решение исходного уравнения.



    Это есть общее решение дифференциального уравнения.


  5. если  представлена в ином виде, то используется метод вариации произвольных постоянных. Решение ищется в виде , где  и  - частные решения однородного уравнения.

     и  находятся из системы уравнений:



    Пример. 

    Найти общее решение дифференциального уравнения 

    Решение. 

    Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его.



    Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде 

    Находим  и  из системы уравнений:



    Решаем систему относительно неизвестных  и  любым способом (например, методом Крамера), в итоге получаем:



    Интегрируем каждое уравнение и получаем (подробнее об интегрировании в разделеНеопределенные интегралы ):



    Следовательно,



    Это есть общее решение дифференциального уравнения.

    Абсолютно аналогично решаются дифуры вида 

    По тем же принципам решаются ЛНДУ и ЛОДУ с постоянными коэффициентами степени выше второй.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = f(t)

состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ... + cnzn(t)

соответствующего однородного уравнения

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = 0

на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

\left\{\begin{matrix}

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно {c_k^'}.

Если \tilde{c_k} — первообразные для c_k^', взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

z

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.