» » »

46. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Уравнения с правой частью специального вида.

 

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

  Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

  Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение: 

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где 

Т.е.  

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

  Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

  Итого, частное решение: 

 

 

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

 

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

 

где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

 

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

  Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

 и 

 

  Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

 

Пример. Решить уравнение 

 

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение: 

 

1.      Для функции f1(x) решение ищем в виде .

Получаем:  Т.е. 

 

Итого: 

2.      Для функции f2(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f2(x), получаем: 

  Таким образом, 

 

 

 

Итого: 

 

  Т.е. искомое частное решение имеет вид: 

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

 

 

  Рассмотрим примеры применения описанных методов.

 

  Пример. Решить уравнение 

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

 Общее решение однородного уравнения: 

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид: 

Общее решение линейного неоднородного уравнения: 

  Пример. Решить уравнение 

 

Характеристическое уравнение: 

Общее решение однородного уравнения: 

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины