Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный пределто его называют несобственным интегралом первого родаи обозначают
Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интегралсходится.
Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл dx расходится.
Аналогичноопределяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:
Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой
где с — произвольное число.
В этом случае интеграл
слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.
Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке
[а; +∞) и интегралсходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).
Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1) 2)
3)
Решение:
1) интеграл сходится;
2)интеграл расходится, так как при а →-∞ предел
не существует.
3)интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
интеграласледует сходимость интеграла
а из расходимо-
сти интеграла следует расходимость интеграла
Пример 40.2. Сходится ли интеграл
Решение: При х ≥ 1 имеемНо интеграл
сходится. Следовательно, интеграл
также сходится (и его значение меньше 1).
Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла
Решение: Интегралсходится, так как интеграл
сходится и
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.