15. Несобственный интеграл 2-го рода. Теоремы о сходимости несобственного интеграла.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел  то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают 

Таким образом,поопределению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся,  если оба несобственныхинтеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0, несобственный интеграл второго рода  (разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).

Пример 40.4. Вычислить

Решение: При х = 0 функция  терпит бесконечный разрыв;

интеграл расходится.

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

Теорема 40.4. Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует пределто интегралыодновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример 40.5. Сходится ли интеграл

Решение: Функцияимеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию, Интеграл

расходится. И так как

то интегралтакже расходится.