Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Таким образом,поопределению,
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл
расходится.
Аналогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают
Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
В этом случае интеграл
слева называют сходящимся, если оба несобственныхинтеграла,
стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0,
несобственный интеграл второго рода (разрыв
в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно
высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).
Пример 40.4. Вычислить
Решение: При х = 0 функция терпит бесконечный разрыв;
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
Из сходимости интегралавытекает сходимость интеграла
а из расходимости интеграла
вытекает расходимость интеграла
Пример 40.5. Сходится ли интеграл
Решение: Функцияимеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию
, Интеграл
расходится. И так как
то интегралтакже расходится.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.