» » »

41. Огибающая семейства кривых. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )

  Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y.

 Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

 

Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

 Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

 

Это уравнение имеет два возможных решения:

 или 

В первом случае: 

 

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

 

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом.

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

  Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем: 

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение: 

 

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем: 

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:   верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

 

 

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид: 

 

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

 

 С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2

 С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2

 

  Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид: 

 

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

 

Окончательно получаем: 

  Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

  Действительно, уравнение   может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

 

 Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда 

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

 

Итого  

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем 

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

  Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

 

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

  Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

 Итого   

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

 (верно)

 

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно 

  

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

 

  Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

 

 

 

С учетом начального условия:

Окончательно  

 

  Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид: 

 

C учетом начального условия у(1) = 0: 

Частное решение: 

Пример. Найти решение дифференциального уравнения  с начальным условием у(1) = е.

 

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим: 

Уравнение принимает вид:

 

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

 

Сделаем обратную замену: 

Общее решение: 

 

C учетом начального условия у(1) = е: 

Частное решение: 

 

  Второй способ решения.

 

 Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

 

 Решение исходного уравнения ищем в виде: 

Тогда 

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

 

 Получаем общее решение: 

  Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1)=0.

 

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид: 

Делаем обратную подстановку: 

Общее решение: 

 

C учетом начального условия у(1) = 0: 

Частное решение: 

 

  Второй способ решения.

Замена переменной:  

Общее решение: 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.