» » »

57. Поверхностный интеграл 1-го рода. Свойства. Вычисление.

3.9. Поверхностный интеграл первого рода

Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл первого рода по отношению к определённому интегралу.

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространствеOxyz, а F(x,y,z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS1, ΔS2, ...., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3.8). Площади элементарных участков обозначим теми же буквамиSi(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом элементарном участке ΔSiпроизвольным образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Определение 3.3. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на элементарные участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Поверхностный интеграл обладает всеми обычными свойствами интеграла, включая теорему о среднем значении.

Приведём простейшие достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.

Теорема 3.4. Если поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области τ (τ - есть область, в которую проектируется поверхность S на координатную плоскость Oху), а функция F(x,y,z)непрерывна на S, то интеграл

существует.

К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных x, y, z сводится большинство практически встречающихся случаев.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены все условия приведенной выше теоремы, тогда, обозначив проекцию ΔSi(и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτi, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (xi, yi)  Δτi, а, следовательно
при данном специфическом выборе точек Mi. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции
по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.14).

Приложения поверхностного интеграла различны. Так, например: 
1) если положить F(x,y,z)=1, то интеграл (3.12) будет численно равен площади поверхности S. 
2) если же функцию F(x,y,z) интерпретировать как плотность вещества, распределенного по поверхности S, то интеграл (3.12) численно равен массе материальной поверхности S.

Пример 3.9. Вычислить

где S - поверхность конуса
при 1 ≤ z ≤ 2 (рис. 3.9).

Решение

Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо τ: 1 ≤ х2 + у2 ≤ 4.

В области τ функция

и её производные 
 и  есть непрерывные функции.

Следовательно,

Пример 3.10. Найти массу поверхности полусферы

если в каждой её точке поверхностная плотность вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz.

Решение

Имеем
и, следовательно,
Внутренний интеграл находится так:

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины