» » »

58. Поверхностный интеграл 2-го рода. Свойства. Вычисление.

3.10. Поверхностный интеграл второго рода

Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10).

Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур L, не имеющий общих точек с границей L.

В точке М контура L можно восстановить две нормали  и  к поверхности S.

Выберем какое-либо одно из этих направлений.

Обводим точку M по контуру L с выбранным направлением нормали.

Если в исходное положение точка M вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней.

Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Двусторонней поверхностью является всякая гладкая поверхность с уравнением z = f(x,y).

Пусть S - двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности.

Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева.

Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.

Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Как при изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, так и при построении поверхностного интеграла второго рода рассматривается определенная сторона поверхности.

Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида z = f(x,y) или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Пусть R(x,y,z) - функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n элементарных участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек.

На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть(ΔSi)xy - площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком +, если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) образует с осью Oz острый угол, и со знаком , если этот угол тупой.

Составим сумму

которую называют интегральной суммой для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменнымх, у.

Обозначим λ - наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).

Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на элементарные участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi (i = 1, ..., n), то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается
Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z или у, z по соответствующей стороне поверхности, т. е.
Если существуют интегралы (3.16) и (3.17), то можно ввести общий интеграл по выбранной стороне поверхности:
Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

Вычисление интеграла (3.16) как правило, сводят к вычислению двойного интеграла.

Пусть S - двусторонняя поверхность, заданная уравнением z=f(x,y), где f(x,y) непрерывна в области τ (τ есть проекция поверхности S на координатную плоскость Оху), и R(x,y,z) - непрерывная функция на поверхности S.

Выберем верхнюю сторону поверхности S, тогда знак проекции (ΔSi)xy всегда +, поэтому

есть интегральная сумма для функции R(x,y,f(x,y)) по плоской области τ.

Переходя к пределу (при λ  0 ), получаем

отсюда и очевидны условия существования поверхностного интеграла второго рода.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины