» » »

26. Производная по направлению.Градиент функции. Свойства градиента. [by JamshyT]

Определение градиента и стационарных точек функции

Пусть в области $ задана функция $ , которая в некоторой точке $ имеет частные производные $ по всем переменным $ , $ .

        Определение 8.1   Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

$\displaystyle

называется градиентом функции $ , вычисленным в точке $ . Градиент $ обозначается также $ и $ .

Если частные производные существуют во всех точках области $ , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке $ , представляет собой вектор-функцию $ со значениями в $ .     

В некоторых точках $ градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точке $ будут равны 0:

$\displaystyle при всех $\displaystyle

Такие точки $ называются стационарными точками функции $ .

        Пример 8.1   Рассмотрим функцию $ , заданную на всей плоскости $ . Поскольку

$\displaystyle

то

$\displaystyle

а стационарные точки задаются системой уравнений

$\displaystyle

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

$\displaystyle

Значит, $  -- единственная стационарная точка этой функции.    
Пусть снова функция $ задана в области $ и имеет во всех точках $ частные производные по всем переменным $ . Предположим, что все частные производные $ непрерывны в точке $ . Тогда функция $ дифференцируема в точке $ , то есть приращение функции $ имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:

$\displaystyle

где $  -- величина большего порядка малости при $ , чем $ . Напомним, что

$\displaystyle

так что получаем


Фиксируем теперь в $ какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор $ Через точку $ в направлении вектора $ проходит некоторая ось $ . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки $ этой оси можно задать параметрическими уравнениями:

$\displaystyle

или, в векторном виде, $ , где $ и увеличению значений параметра $ соответствует движение точки $ оси $ в направлении вектора $ .

Обозначим $ ту часть оси $ , которая состоит из точек оси, следующих после $ , то есть точек луча $ , получающегося при $ .

        Определение 8.2   Значение предела

$\displaystyle

называется производной функции $ по направлению оси (или луча) $ (или по направлению вектора $ ), вычисленной в точке $ . Производная по направлению обозначается $ или $     

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции $ при прямолинейном и равномерном движении точки $ вдоль оси $ в момент $ .

Заметим, что если направление оси $ совпадает с направлением одной из координатных осей $ , то производная функции $ по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции $ по соответствующей переменной $ . Если существует (двусторонняя) частная производная по $ , то получаем, что

$\displaystyle

если $ .

Используя параметризацию точки на луче $ вида $ и замечая, что условие $ означает, что $ , получаем:

$\displaystyle

Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):

$\displaystyle    

Отсюда

$\displaystyle    
$\displaystyle    

Здесь в правой части первые $ слагаемых не зависят от $ . Поскольку $ при $ , то последний предел равен 0, так как $  -- величина большего порядка малости, чем $ . Итак, получили формулу

$\displaystyle

С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления $ .

Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора $ , а второй множитель -- компонента вектора $ . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора $ ; направление его, очевидно, то же, что у $ . Длина вектора $ равна 1:

$\displaystyle

Поэтому компоненты вектора $  -- это направляющие косинусы -- косинусы углов $ между осью $ и осями координат $ :

$\displaystyle

где $  -- единичный направляющий вектор оси $ , $ , а точкой $ обозначено скалярное произведение векторов $ и $ . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:

        Теорема 8.1   Если все частные производные $ функции $ непрерывны в точке $ и направление оси $ задано вектором $ , то

$\displaystyle

где $  -- единичный направляющий вектор оси $ , или

$\displaystyle

где $  -- углы между осью $ и осями $ .    

Свойства градиента и производной по направлению

Напомним, что для скалярного произведения $ двух векторов $ и $ выполнеяется равенство

$\displaystyle

где $  -- угол между векторами $ и $ . Записав это равенство для векторов $ и $ , получим, что

$\displaystyle

где $  -- угол между осью $ и вектором $ , поскольку $ . Учитывая, что $ , получаем:

$\displaystyle

Поскольку величина модуля градиента не зависит от угла $ , а $ может изменяться от $ до 1, получаем, что своё максимальное значение $ производная по направлению $ принимает при $ (когда $ ), то есть при условии, что направление оси $ совпадает с направлением градиента. Минимальное значение производной по направлению, равное $ , получается при $ (когда $ ), то есть при оси $ , направленной противоположно вектору $.

Заметим также, что $ , если ось $ направлена перпендикулярно вектору $ : тогда $ и $ . Верно и обратное: если $ , то $ , только если ось $ направлена перпендикулярно вектору $ .

Поскольку значение $ можно, соответствующим образом выбрав угол $ , сделать равным любому числу из отрезка $ , то значение производной по направлению принимает любые значения на отрезке $


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.


Copyright © IT-IATU 2011-2017