» » »

3. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. О кратных корнях многочлена. Раз­ложение правильной дроби на сумму простейших дробей.

Разложение многочлена на множители. 

 Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х.

 

 Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)

 При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).

 

 Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.

 Переходя к пределу при х ® a, получаем f(a) = R.

 

 Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.

 

 Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n. 

 Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

 Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.

 Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:

ki - кратность соответствующего корня.

 

 Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

 Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
2. О кратных и комплексных корнях многочлена

Если в разложении многочлена  на множители (4) некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:

(5)

При этом . В этом случае корни  называются корнями кратности  соответственно.

Например, многочлен  . Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

Имеет место теорема: всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Теорема (без доказательства). Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Итак, в разложении (4) многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными. Перемножив линейные множители  и , соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами: 

где –действительные числа.

Если корень  является корнем кратности k, то сопряженный корень  имеет ту же кратность k. Это означает, что в разложении многочлена на множители наряду с множителями входят множители , то есть множители .

Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле

,

где

(6)

 
3. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие

Рассмотрим рациональную дробь , где  и –многочлены с действительными коэффициентами. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена  меньше степени многочлена .

Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление  на  по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде  где  –некоторые многочлены, а –правильная рациональная дробь.

Правильные рациональные дроби вида

, где k–целое положительное число ≥2, дискриминант квадратного трехчлена  отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Правильную рациональную дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих корней, то есть дробь несократимую можно разложить на сумму простейших дробей.

Здесь имеют место три случая.

1.Все корни многочлена , стоящего в знаменателе, действительны и различны, то есть . Тогда  можно разложить на n простейших дробей I типа:

(7)

2.Все корни многочлена  действительны, но среди них имеются кратные, то есть . Тогда рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей I и II типов:

 (8)

3.Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексно сопряженные не повторяющиеся, то есть .

Тогда дробь  разлагается на простейшие дроби I, II и III типов. Запишем ту часть разложения, которая соответствует множителям  знаменателя:

(9)

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины