Разложение многочлена на множители.
Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).
Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.
Переходя к пределу при х ® a, получаем f(a) = R.
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
ki - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
2. О кратных и комплексных корнях многочлена | ||||
Если в разложении многочлена
При этом Например, многочлен Имеет место теорема: всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Теорема (без доказательства). Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень Итак, в разложении (4) многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными. Перемножив линейные множители где Если корень Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле
где
|
||||
3. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие | ||||
Рассмотрим рациональную дробь Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление Правильные рациональные дроби вида
Правильную рациональную дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих корней, то есть дробь несократимую можно разложить на сумму простейших дробей. Здесь имеют место три случая. 1.Все корни многочлена
2.Все корни многочлена
3.Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексно сопряженные не повторяющиеся, то есть Тогда дробь
|
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.