» » »

34. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная к кривой на плоскости

 Определение 4.2   Число $, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ в точке $ и обозначают $. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $.     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку $ с угловым коэффициентом $, -- это $ (где $ -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику $ при $, то есть касательной, проходящей через точку $ с угловым коэффициентом, равным производной $ функции $ в точке $:

$\displaystyle

Пусть дана некоторая кривая $, и в точке $ к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии $. 

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии $ 

Если касательная имеет угловой коэффициент $, то нормаль имеет угловой коэффициент $, поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен $, а $ Поэтому уравнение нормали к линии $, проведённой через точку $, имеет вид:

$\displaystyle

или

$\displaystyle
 Уравнение нормальной плоскости 

     1. 

     2. 

     4. 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности, 

n
 — фиксированный вектор.

Обозначим j = j(M) — угол между векторами AB и 

n
 (рис. 1).

Ненулевой вектор 

n
 называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если


lim
B  A
 j   =   
π
2
 .

Точка поверхности F(x,y,z) = 0 называется обыкновенной, если в этой точке

  1. частные производные F'x , F'y , F'z непрерывны;
  2. (F'x)2 + (F'y)2 + (F'z)2 ≠ 0 .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.

Теорема 1. Если M(x0y0z0) — обыкновенная точка поверхности F(x,y,z) = 0 , то вектор

n
 =   grad F(x0y0z0) = F'x(x0y0z0
i
 + F'y(x0y0z0
j
 + F'z(x0y0z0
k
(1)

является нормальным к этой поверхности в точке M(x0, y0, z0) .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 128).

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

x  x0
F'x(x0, y0, z0)
   =   
y  y0
F'y(x0, y0, z0)
   =   
z  z0
F'z(x0, y0, z0)
 .
(2)

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

F'x (x0, y0, z0) · (x  x0)   +   F'y (x0, y0, z0) · (y  y0)   +   F'z (x0, y0, z0) · (z  z0) = 0.
(3)

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке a(x0, y0) . Ее графиком является поверхность

f(x,y) − z = 0.

Положим z0 = f(x0, y0) . Тогда точка A(x0, y0, z0) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F(x, y, z) = f(x, y) − z суть

F'x = f'x,       F'y = f'y,       F'z = − 1

и в точке A(x0, y0, z0)

  1. они непрерывны;
  2. F'2x + F'2y + F'2z = f'2x + f'2y + 1 ≠ 0 .

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F(x, y, z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:

f'x(x0, y0) (x  x0) + f'y(x0, y0) (y  y0) − (z  z0) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a(x0, y0) в произвольную точку p(x, y) есть BQ (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть

(z  z0) = f'x(x0, y0) (x  x0) + f'y(x0, y0) (y  y0)

Здесь в правой части стоит дифференциал dz функции z = f(x,y) в точке a(x0, x0). Следовательно,
df(x0, y0). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f(x, y) в точке (x0, y0, z0 = f(x0, y0)).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.