21. Вычисление работы с помощью определенного интеграла. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.

     Вычисление работы с помощью определённого интеграла.

Пусть под действием некоторой силы  материальная точка М движется по прямой в направлении оси . Требуется найти работу, произведённую силой  при перемещении точки М из положения  в положение .

1)     Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом .

2)     Если сила переменная величина, то .

Пример:

Два электрических заряда  и  находятся на оси  соответственно в точках  и . Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку ? (Сила взаимодействия зарядов ).

Решение:

====

=.

                                   Координаты центра тяжести.

     Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках. 

     Для материальной дуги АВ плоской кривой  прямоугольные координаты центра тяжести  определяются формулами :

       ,          .

    Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси  и имеющей верхнюю границу , центр тяжести имеет координаты 

где площадь криволинейной трапеции.

Центр тяжести произвольной плоской, ограниченной графиком функции

  сверху и  снизу, определяется формулами

Пример:

Найти координаты центра тяжести однородного полукруга , расположенного над осью .

Решение:

Применим формулы

Так как полукруг расположен над осью , то верхняя граница задаётся уравнением  В силу симметрии фигуры относительно оси ординат, абсцисса  центра тяжести равна нулю. Найдём ординату:

Координаты центра тяжести имеют вид