» » »

§ 11.1.5 Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. Законы распределения.

Непрерывные случайные величины и их важнейшие числовые характеристики

Случайная величина называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений.

Случайная величина  называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения может быть представлена в виде

. (3.24)

При этом функция  называется плотностью распределения вероятностей (или, короче, плотностью распределения) случайной величины. График плотности распределения случайной величины  называется кривой распределения вероятностей (или, короче, кривой распределения) случайной величины . Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться абсолютно непрерывные случайные величины, при этом слово <абсолютно> будет опускаться.

Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: .

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

для всех : ; (3.25)

; (3.26)

для всех точек, в которых существует производная :. (3.27)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет конкретное числовое значение, равна нулю:

для всех : . ( STYLEREF 1 \s 3. SEQ Формула. \* ARABIC \s 1 28)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по формуле

для всех , таких, что : (3.29)

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  называется число

. (3.30)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.12) - (3.15), что и математическое ожидание дискретной случайной величины.

Формулы (3.16) и (3.17) для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин принимают вид

, (3.31)

. (3.32)

соответственно.

Дисперсия непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.20) - (3.22), что и дисперсия дискретной случайной величины.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин


Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция


Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция. Характеристической функциейслучайной величины X называется математическое ожидание комплексной случайной величины e^{isX}, рассматриваемое как функции параметра s (здесь и далее в этой части i– мнимая единица). Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины X задаётся формулой


g(s)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{isx}f(x)\,dx, где f(x)– плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:


1) при любом действительном значении s характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть


|g(s)|\leqslant1,~s\in\mathbb{R}\,;

2) характеристическая функция равна единицы при s=0, то есть g(0)=1.


Плотность вероятности случайной величины X можно выразить через её характеристическую функцию:


f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{isx}g(s)\,ds.

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой. Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины. Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:


M(X)=-ig'(0);\quad



Нормальный закон распределения (закон Гаусса)


Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины X выражается формулой


f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right).(8.1)

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки x=a (точка максимума). При уменьшении \sigmaордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).


Кривые

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):


M(X)=a;\qquad

Таким образом, параметры a и \sigma в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:


f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{D[X]}}}\exp\!\left(-\frac{(x-M(X))^2}{2D[X]}\right).

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.


Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой


g(s)=\exp\!\left(ias-\frac{1}{2}\sigma^2s^2\right).



Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина X удовлетворяет неравенству \alpha<X<\beta.


Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности (см. раздел 4, часть 4), получаем


{P\{\alpha<X<\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\exp\!\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right)\!dx.}

Положим \frac{x-a}{\sigma}=t, тогда
{P\{\alpha<X<\beta\}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\tfrac{\beta-a}{\sigma}}^{\tfrac{\alpha-a}{\sigma}}\sigma\exp\!\left(-\frac{t^2}{2}\right)\!dt=\Phi\!\left(\frac{\beta-a}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{\alpha-a}{\sigma}\right).}

где \Phi(x)

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины