» » »

§ 11.2.2 Статистическое оценка параметров распределения.

Статистические оценки параметров распределения


Состоятельность и несмещенность статистических оценок

Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак и необходимо оценить параметры, которыми оно определяется. Например, если изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то нужно оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение; если признак имеет распределение Пуассона – то необходимо оценить параметр λ.

Обычно имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2269.jpg, полученные в результате n независимых наблюдений. Рассматривая src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2270.jpgкак независимые случайные величины src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2271.jpgможно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки математического ожидания нормального распределения роль функции выполняет среднее арифметическое:

src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2272.jpg

Для того чтобы статистические оценки давали корректные приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять некоторым требованиям, среди которых важнейшими являются требования несмещенности и состоятельности оценки.

Пусть src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2273.jpg – статистическая оценка неизвестного параметра src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2274.jpg теоретического распределения. Пусть по выборке объема n найдена оценка src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2275.jpg. Повторим опыт, т.е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным получим другую оценку src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2276.jpg. Повторяя опыт многократно, получим различные числа src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2277.jpgsrc=http://www.stat-mat.com/images/10/img2278.jpg. Оценку src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2279.jpg можно рассматривать, как случайную величину, а числа src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2280.jpg – как ее возможные значения.

Если оценка src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2281.jpg дает приближенное значение src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2282.jpg с избытком, т.е. каждое число src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2283.jpg больше истинного значения src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2284.jpg то, как следствие, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2285.jpgбольше, чем src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2286.jpg:

src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2287.jpg.

Аналогично, если src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2288.jpg дает оценку с недостатком, то src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2289.jpg.

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. Если, напротив, src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2290.jpg, то это гарантирует от систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2291.jpg, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2292.jpg при любом объеме выборки src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2293.jpg.

Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую этому условию.

Несмещенность оценки еще не гарантирует получения хорошего приближения для оцениваемого параметра, так как возможные значения src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2294.jpg могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2295.jpg может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2296.jpg, может оказаться значительно удаленной от среднего значения src=http://www.stat-mat.com/images/10/img2297.jpg, а значит, и от самого оцениваемого параметра.

Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины