§ 9.4.2 Восстановление оригинала по изображению.

Пример. Восстановить оригинал по изображению:

а) ;  б) .

Решение. а) по табл. 2 находим  и . По табл. 1 учитываем запаздывание аргумента оригинала, а именно   и

. Окончательно получаем оригинал , или

б) аналогично имеем последовательно , .

ПРИМЕР 26. Найти оригинал  по его изображению .

Решение. Сначала пытаемся найти оригинал сразу по табл. 2, но в данном примере это не удается. Поэтому сведем  к табличным выражениям, преобразуя следующим образом:

.

По табл. 2 находим  и  или .

Окончательно оригинал запишется так:

.

Таким образом, для отыскания оригинала по известному изображению иногда можно представить изображение в виде суммы табличных изображений, затем найти оригинал каждого слагаемого, а результаты сложить. Обращение преобразования Лапласа в общем виде рассмотрено далее.

Задание. Восстановить оригинал  по изображению:

а) ;  б) .

Ответы: а) ; 

б) .

Следствие 1

А=  В=

Если $ n1: n³n1 => an=bn, тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся)

Доказательство: n0³n1 | am+1+…+an |=| bm+1+…+bn |

Следствие 2

A=  B=, Если bn = kan, n ³1, k¹0, тогда A~B.

Если   сходится, то сходится.

Доказательство: По критерию Коши:

| am+1+…+an |≤|am+1|+|am+2|+…+|an|<e

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов.

1. Интеграл вида , где  - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл  сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.