Пример. Восстановить оригинал по изображению:
а)
; б)
.
Решение. а) по табл. 2 находим
и
. По табл. 1 учитываем запаздывание аргумента оригинала, а именно
![]()
и
. Окончательно получаем оригинал
, или
б) аналогично имеем последовательно
,
.
ПРИМЕР 26. Найти оригинал
по его изображению
.
Решение. Сначала пытаемся найти оригинал сразу по табл. 2, но в данном примере это не удается. Поэтому сведем
к табличным выражениям, преобразуя следующим образом:
.
По табл. 2 находим
и
или
.
Окончательно оригинал запишется так:
.
Таким образом, для отыскания оригинала по известному изображению иногда можно представить изображение в виде суммы табличных изображений, затем найти оригинал каждого слагаемого, а результаты сложить. Обращение преобразования Лапласа в общем виде рассмотрено далее.
Задание. Восстановить оригинал
по изображению:
а)
; б)
.
Ответы: а)
;
б)
.
Следствие 1
А=
В=
Если $ n1: n³n1 => an=bn, тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся)
Доказательство: n0³n1 | am+1+…+an |=| bm+1+…+bn |
Следствие 2
A=
B=
, Если bn = kan, n ³1, k¹0, тогда A~B.
Если
сходится, то
сходится.
Доказательство: По критерию Коши:
| am+1+…+an |≤|am+1|+|am+2|+…+|an|<e
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов.
1. Интеграл вида , где
- рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой
. Используя формулы тригонометрии, получим
. Кроме того
, откуда
.
Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции
, стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.