Последовательность независимых испытаний
Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q = 1-p,
независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие
серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или
схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие
задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз: ; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем
раз и не более, чем
раза:
.
Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:
Если число n велико, а p не
слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться
приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная
теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
, где
и
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
, где
.
Функции j(х) и Ф(х)
табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом
учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих
функций: j(-x) = j(x); Ф(-х) = -Ф(х); Ф(0) = 0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из nиспытаний можно воспользоваться формулой Пуассона
, где
.
Число успехов,
при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей,
называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое
число на промежутке
.
Пример 1. По
некоторой цели произведено четыре независимых выстрела. Вероятность
попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того,
что при четырех выстрелах было ровно одно попадание, и определить
наивероятнейшее число попаданий.
Решение. Вероятность попадания при одном выстреле равна p = 0,6, а вероятность промаха . Вероятность того, что будет ровно одно попадание, находим по формуле
.
Наивероятнейшее число попаданий
,
.
Таким образом, имеется два наивероятнейших числа: 2 или 3.
Пример 2. Вероятность наступления события А в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие Анаступит: а) ровно 1100 раз; б) от 1100 до 1200 раз.
Решение. – вероятность появления события А при одном испытании.
– вероятность непоявления события А при одном испытании.
а) Воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа
, где
и
.
По условию n = 1600, k = 1100.
.
По таблице ([5], приложение 1) .
.
б) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа
, где
;
.
.
.
По таблице ([5], приложение 2) Ф(4,36) » 0,5, Ф(-1,09)= - 0,3621.
.
Теоретические вопросы к разделу 3
1. Формула Бернулли.
2. Локальная формула Муавра-Лапласа.
3. Интегральная формула Муавра-Лапласа.
4. Формула Пуассона.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.