11.1.3 Последовательность независимых испытаний

Последовательность независимых испытаний

Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q = 1-p, независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз: ; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем  раз и не более, чем  раза: .

Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:

Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

, где  и 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

, где 

.

Функции j(х) и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций: j(-x) = j(x); Ф(-х) = -Ф(х); Ф(0) = 0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из nиспытаний можно воспользоваться формулой Пуассона

, где .

Число  успехов, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое число на промежутке .

Пример 1. По некоторой цели произведено четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при четырех выстрелах было ровно одно попадание, и определить наивероятнейшее число попаданий.

Решение. Вероятность попадания при одном выстреле равна p = 0,6, а вероятность промаха . Вероятность того, что будет ровно одно попадание,  находим по формуле

.

Наивероятнейшее число попаданий

, .

Таким образом, имеется два наивероятнейших числа: 2 или 3.

Пример 2. Вероятность наступления события А в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие Анаступит: а) ровно 1100 раз; б) от 1100 до 1200 раз.

Решение.  – вероятность появления события А при одном испытании.  – вероятность непоявления события А при одном испытании.

а) Воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа

, где  и .

По условию n = 1600, k = 1100.

.

По таблице ([5], приложение 1) .

.

б) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа

, где ;

.

.

.

По таблице ([5], приложение 2) Ф(4,36) » 0,5, Ф(-1,09)= - 0,3621.

.

Теоретические вопросы к разделу 3

 1.      Формула Бернулли.

2.      Локальная формула Муавра-Лапласа.

3.      Интегральная формула Муавра-Лапласа.

4.      Формула Пуассона.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.