» » »

8.2.2 Разложения функций в степенные ряды

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее.

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .

  Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

 

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем: 

  

 

 

Итого, получаем: 

 

  Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

 

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

  Находим дифференциал функции  и интегрируем его в пределах от 0 до х.

   Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn  остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. 

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

  • Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.