» » »

11.1.3 Статистические гипотезы и критерии

§11.1.3 Статистические гипотезы

На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез). Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Выдвигается основная (нулевая) гипотеза $Н_{0}$ и проверяется, не противоречит ли она имеющимся эмпирическим данным. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу $Н_{1}$, которая противоречит нулевой.

В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; вероятность совершить такую ошибку обозначают $\alpha и называют ее уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, вероятность которой обозначают $\beta, а мощностью критерия является вероятность $1-.

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Под критической областью понимают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу $Н_{0}$ отвергают. Критическую область при заданном уровне значимости следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, которую представим на рис. 103.

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met12/ris103.eps}

Рис. 103

1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости $\alpha проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: 

\begin{displaymath}Н_{0}=D[X]

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину отношения большей исправленной дисперсии к меньшей 

\begin{displaymath}F=S_{б}^{2}

Величина $F$ имеет распределение Фишера-Снедекора, которое зависит только от чисел степеней свободы $k_{1}=n_{1} и $k_{2}=n_{2}-.

Пример 181. Исследование длительности оборотных средств двух групп предприятий (по 13 предприятий в каждой) дало следующие результаты:

$х^{\ast дня, $у^{\ast дней, $\sigma дня, $\sigma дней.

Можно ли считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств групп предприятий одинаковы для уровня значимости 0,1?

Решение. В этой задаче надо проверить нулевую гипотезу $Н_{0} о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе$Н_{1}. Используем критерий Фишера-Снедекора со степенями свободы $k_{1}=k_{2} и вычислим наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей)


\begin{displaymath}

По таблице приложения 6 по уровню значимости для двусторонней критической области $\alpha и числам степеней свободы $k_{1}=k_{2} находим критическую точку


\begin{displaymath}F_{кр}

Так как $F_{эмп}=, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве отклонений в длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий.

Пример 182. Школьникам давались обычные арифметические задачи, а потом одной случайно выбранной половине учащихся сообщалось, что они не выдержали испытания, а остальным - обратное. Затем у каждого из них спрашивали, сколько секунд ему потребуется для решения новой задачи. Экспериментатор, вычисляя разность между определенным временем решения задачи, которое называл школьник, и результатами ранее выполненного задания, получил следующие данные:

группа 1 (учащиеся, которым сообщалось о положительном результате) $n_{1}
группа 2 (учащиеся, которым сообщалось о неудаче) $n_{2}=

Проверьте на уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что дисперсия совокупности детских оценок, имеющих отношение к оценке их возможностей, не зависит от того, что сообщалось детям о плохих результатах испытаний или об удачном решении первой задачи.

Решение. Применим критерий Фишера-Снедекора для нулевой гипотезы $Н_{0} и конкурирующей $Н_{1}. Вычислим наблюдаемое значение критерия


\begin{displaymath}

Критическую точку находим в приложении для уровня значимости $\alpha и числам степеней свободы $k_{1} и $k_{2}:


\begin{displaymath}F_{кр}(0,01;

Получили, что $F_{эмп} и нулевая гипотеза на уровне значимости 0,01 отвергается.

2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных средних рассматриваемых совокупностей с заданными или вычисляемыми дисперсиями. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину


\begin{displaymath}

Пример 183. Производительность двух моторных заводов, выпускающих дизельные двигатели, характеризуется следующими данными:

1-й завод 72 84 69 74 82 67 75 86 68 61
2-й завод 55 65 73 66 58 71 77 68 68 59

Можно ли считать одинаковыми производительности дизельных двигателей на обоих заводах при уровне значимости $\alpha?

Решение. Найдем выборочные числовые характеристики данных независимых выборок:


\begin{displaymath}х^{\ast

Найдем наблюдаемое значение критерия:


\begin{displaymath}

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид $M[X], поэтому критическая область - двусторонняя.

Найдем критическую точку:


\begin{displaymath}

по таблице функции Лапласа (прил. 2) находим $Z_{кр}.

Так как $\left\vert, то нулевая гипотеза об одинаковости производительности двух заводов отклоняется.

3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. По выборочной средней при заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза $Н_{0}: о равенстве генеральной средней $a гипотетическому значению $a_{0}$. В качестве проверки нулевой гипотезы примем случайную величину


\begin{displaymath}

которая распределена нормально.

Пример 184. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением $\sigma извлечена выборка объема $n и по ней найдена выборочная средняя $х^{\ast}. Проверить нулевую гипотезу $Н_{0}:, при конкурирующей гипотезе $Н_{1}: и уровне значимости 0,1.

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:


\begin{displaymath}

Найдем критическую точку двусторонней критической области:


\begin{displaymath}

и по таблице функции Лапласа находим $U_{кр}.

Поскольку $U_{кр}, то нулевая гипотеза принимается.

4. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. При заданном уровне значимости $\alpha проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что неизвестная вероятность $р$ появления события равна гипотетической вероятности $р_{0}$ серии повторных независимых испытаний.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем случайную величину



Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины